Hoy. Wie würdet ihr die Extremstellen der folgenden Funktion bestimmen?

\( f(x) = (lnx)^{3} - 2(lnx)^{2} + lnx \).

x ist definiert in \( [1, e^{3}] \) 

- wie kommt man auf \( e^{2} \) als potenzielle Lösung?

-gibt es alternative Lösungswege für \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \)?

Lösungsversuch:

Ich bin davon ausgegangen, dass man die Ergebnisse für \( f`(x) = 0 \) und die Randpunkte, 1 und \( e^{3} \), in f(x) einsetzen muss. Rechnet man die aus, ist der kleinste Wert das Minimum, der grösste das Maximum.

Für die erste Ableitung habe ich \( {3[(lnx)^{2}] - 4lnx + 1} / {x} \) bekommen. Wie ich mit \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \) umgehen soll, ist mir unklar. (Habe alles auf e-Basis genommen und \( x = e^{1/2} \) erhalten, was falsch ist.) Seither 3*1 - 4*1 = -1 ist, muss jedoch lnx = 1, x = e eine mögliche Lösung sein.

Lösungsschlüssel:

Als korrekte Ableitung ist \( f`(x) = 3/x*(lnx - 1)*(lnx - 1/3) \), was mit meiner Lösung übereinstimmt.

Die Funktion hat Minimum an den Stellen f(1) = 0 und f(e) = 0. Ihre Maximum ist bei \( f(e^{3}) = 12. \)

Es werden \( f(e^{1/3}) = 4/27 \) und \( f(e^{2}) = 2 \) kommentarlos ausgerechnet. Mit der umgestellten Ableitung in dem Form von \( f`(x) = 3/x*(lnx - 1)*(lnx - 1/3) \) ist es klar geworden, dass lnx = 1 und lnx = 1/3 \( x = e \) und \( x = e^{1/3} \) ergeben.

noch einmal die Fragen:

-wie kommnt man auf \( e^{2} \) als potienzielle Lösung?

-wie könnte man \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \) auflösen?