Extremstellen bestimmen, ln-Gleichung Umstellen

Aufrufe: 794     Aktiv: 20.07.2020 um 13:18

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Hoy. Wie würdet ihr die Extremstellen der folgenden Funktion bestimmen?

\( f(x) = (lnx)^{3} - 2(lnx)^{2} + lnx \).

x ist definiert in \( [1, e^{3}] \) 

 

- wie kommt man auf \( e^{2} \) als potenzielle Lösung?

-gibt es alternative Lösungswege für \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \)?

 

Lösungsversuch:

Ich bin davon ausgegangen, dass man die Ergebnisse für \( f`(x) = 0 \) und die Randpunkte, 1 und \( e^{3} \), in f(x) einsetzen muss. Rechnet man die aus, ist der kleinste Wert das Minimum, der grösste das Maximum.

Für die erste Ableitung habe ich \( {3[(lnx)^{2}] - 4lnx + 1} / {x} \) bekommen. Wie ich mit \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \) umgehen soll, ist mir unklar. (Habe alles auf e-Basis genommen und \( x = e^{1/2} \) erhalten, was falsch ist.) Seither 3*1 - 4*1 = -1 ist, muss jedoch lnx = 1, x = e eine mögliche Lösung sein.

Lösungsschlüssel:

Als korrekte Ableitung ist \( f`(x) = 3/x*(lnx - 1)*(lnx - 1/3) \), was mit meiner Lösung übereinstimmt.

Die Funktion hat Minimum an den Stellen f(1) = 0 und f(e) = 0. Ihre Maximum ist bei \( f(e^{3}) = 12. \)

Es werden \( f(e^{1/3}) = 4/27 \) und \( f(e^{2}) = 2 \) kommentarlos ausgerechnet. Mit der umgestellten Ableitung in dem Form von \( f`(x) = 3/x*(lnx - 1)*(lnx - 1/3) \) ist es klar geworden, dass lnx = 1 und lnx = 1/3 \( x = e \) und \( x = e^{1/3} \) ergeben.

noch einmal die Fragen:

-wie kommnt man auf \( e^{2} \) als potienzielle Lösung?

-wie könnte man \( 3[(lnx)^{2}] - 4lnx = -1 \) auflösen?

 

 

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die erste Ableitung ist ein quadratischer Ausdruck, was impliziert, dass \( f`(x) = 0 \) maximum zwei Lösungen hat.
habt ihr eine Idee, weshalb auch die Stelle \( x = e^{2} \) untersucht wird?
  ─   vera 20.07.2020 um 12:57
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ALso zunächst hast du bei Ableitung vergessen, mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. Es gilt 

\(f'(x)=\frac{1}{x}\left(3\ln(x)^2-4\ln(x)+1\right)\).

Der erste Faktor kann nicht Null werden, also setzen wir den zweiten Faktor gleich Null. Mit Substitution \(z=\ln(x)\) erhalten wir

\(3z^2-4z+1=0\).

Die Gleichung hat die beiden Lösungen \(z_1=1/3\) und \(z_2=1\). Also erhalten wir die folgenden zwei Kandidaten für lokale Extremwerte: \(x_1=e^{1/3}\) und \(x_2=e\).

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vielen Dank! stimmt, habe nicht die vollständige Ableitung aufgeschrieben, multiplizieren mit 1/x fehlt noch
  ─   vera 20.07.2020 um 12:52

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Es ist Dir sicher aufgefallen, dass x nur in der Form ln x in der Funktion vorkommt. Daher kann man z.B. deine letzte Gleichung so lösen, dass man dort für ln x einfach y einsetzt, was eine quadratische Gleichung in y gibt. Daraus y bestimmen und daraus wiederum x als Lösung von ln x =y, also x =e^y.

Solche Ersetzungen treten, zumindest in Übungsaufgaben, gar nicht so selten auf.

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danke für den Hinweis, für lg y einzusetzen ist bestimmt ein richtiger Lösungsweg   ─   vera 20.07.2020 um 12:46

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.