Grenzwert einer Folge

Erste Frage Aufrufe: 44     Aktiv: 13.02.2021 um 17:53

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Die Folge lautet \(a_n = \frac{\sqrt{n} \cdot \sin(n)}{n+1} = \frac{\sqrt{n}}{n+1}\cdot sin(n)\)
Es scheint offensichtlich dass die Folge gegen 0 konvergiert, da \( \frac{\sqrt{n}}{n} =\frac{1}{\sqrt{n}}= \sqrt{\frac{1}{n}} \) und \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{\frac{1}{n}}} = \sqrt{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{n}}} = \sqrt{0} = 0 \), die \(+1\) hat keinen Einfluss in der Unendlichkeit und da der Nenner dadurch außerdem größer wird muss diese so und so auch eine Nullfolge sein.  Da der \(sin(n)\) beschränkt ist und eine Multiplikation einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge eine Nullfolge ergibt ist \(a_n \) eine Nullfolge.

1. Frage) Ist die Argumentation mit dem "+1" so zulässig oder ist es notwendig die Nullfolge mithilfe des Epsilon-Kriteriums zu beweisen?

2. Frage) Hat eigentlich nichts mit der 1. zu tun, kann man aber grundsätzlich wenn man eine Folge \(b_n\) und \(a_n\) mit \(a_n < b_n\) hat und man zeigen kann, dass \(a_n\) divergiert daraus schließen, dass \(b_n\) das auch tut? - quasi ein Minorantenkriterium für Folgen? Wenn das geht, wie kann man das beweisen?
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zu 1) wenn \(a_n<b_n\) und \(b_n \) konvergiert, dann konvergiert auch \(a_n\). Nun gilt \(\frac{\sqrt n}{n+a}<\frac{\sqrt n}{n};a>0\)
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Hallo, sehr gute Fragen.
2.) ja, wenn \(a_n < b_n \) und ja \(a_n\) divergiert, kann richtigerweise \(b_n\) gar nicht konvergieren.

1.) analog kannst du begründen, dass \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n} \rightarrow S\) impliziert, dass \(\dfrac{1}{n+1}\) ebenfalls eine beschränkt ist (in dem Fall eine Nullfolge ist).
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