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Man betrachte das Halbebenenmodell H2 H2 der hyperbolischen Ebene

A:=i, B:=10+i und g:={zH2:Re(z)=0}A:=i, B:=10+i und g:={zH2:Re(z)=0}

 

Zeigen Sie, dass sich die Geraden AB AB und g nicht senkrecht schneiden. Untersuchen Sie, ob es auf der Geraden g einen Punkt CC derart gibt, dass ΔABC ΔABC gleichschenklig mit Basis ¯AB ¯¯¯¯¯¯¯¯AB ist. Hinweis:

dH2(z,w)=dH2(u,v)r(z,w)2=r(u,v)2dH2(z,w)=dH2(u,v)r(z,w)2=r(u,v)2 wobei

r(z,w)2:=|zw||z¯w|r(z,w)2:=|zw||z¯¯¯¯w|
Es klappt leider wirklich gar nichts bis jetzt :/ 

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1 Antwort
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Die "Gerade" ABAB ist hier ein Halbkreis und da die hyperbolische Metrik am Schnittpunkt von ABAB und gg (das ist gerade der Punkt AA) gegeben ist durch

112(dx2+dy2)112(dx2+dy2)
für z=x+iyz=x+iy. Damit ist die Orthogonalität in im hyerbolischen Sinne im diesen Punkt genau das Gleiche, wie Orthogonalität im Euklidschen (ist auch allgemeinen so, da der Vorfaktor 1y21y2 nichts an der Orthogonalität ändert).

Für den zweiten Teil würde ich die empfehlen, das einfach mal in die Gleichung, die du gefunden hast, einzusetzen. Also du hast ja alle Information. Du weißt ja auch, dass Punkte auf gg eben keinen Realteil haben, was das Gleichung lösen vereinfachen sollte. Ich vermute mal, du kriegst da irgendeine polynomielle Gleichung in Re(z)Re(z) raus, die du lösen kannst oder auch nicht.

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Ich danke dir! Ich hoffe den weiteren Verlauf bekomme ich diesmal alleine hin :)   ─   user25e40b 18.05.2024 um 22:40

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Hier hilft denke ich tatsächlich mal die gute alte Skizze. Meld dich, wenn du nicht weiterkommen solltest. Wolfram alpha und co sind dein Freund, wenn es darum geht, Lösungen von Gleichungen zu checken.   ─   crystalmath 19.05.2024 um 10:05

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