Finde $\mathcal{C}$ , sodass $~\Delta_\mathcal{ABC}$ gleichschenklig ist

Erste Frage Aufrufe: 139     Aktiv: 19.05.2024 um 10:05

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Man betrachte das Halbebenenmodell$ ~\mathcal{H}^2$ der hyperbolischen Ebene

$\mathcal{A}:=i ,~\mathcal{B}:=10+i \text{ und } g:=\{z\in \mathcal{H}^2:Re(z)=0\}$

 

Zeigen Sie, dass sich die Geraden$~\mathcal{AB}$ und g nicht senkrecht schneiden. Untersuchen Sie, ob es auf der Geraden g einen Punkt $\mathcal{C}$ derart gibt, dass$~\Delta_\mathcal{ABC}$ gleichschenklig mit Basis $\mathcal{\overline{AB}~}$ist. Hinweis:

$d_\mathcal{H^2}(z,w)=d_\mathcal{H^2}(u,v)\iff r(z,w)^2 = r(u,v)^2$ wobei

$r(z,w)^2 :=\frac{|z-w|}{|z-\overline{w}|} $
Es klappt leider wirklich gar nichts bis jetzt :/ 

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Die "Gerade" $AB$ ist hier ein Halbkreis und da die hyperbolische Metrik am Schnittpunkt von $AB$ und $g$ (das ist gerade der Punkt $A$) gegeben ist durch

$$ \frac{1}{1^2}(dx^2+dy^2)$$
für $z=x+iy$. Damit ist die Orthogonalität in im hyerbolischen Sinne im diesen Punkt genau das Gleiche, wie Orthogonalität im Euklidschen (ist auch allgemeinen so, da der Vorfaktor $\frac{1}{y^2}$ nichts an der Orthogonalität ändert).

Für den zweiten Teil würde ich die empfehlen, das einfach mal in die Gleichung, die du gefunden hast, einzusetzen. Also du hast ja alle Information. Du weißt ja auch, dass Punkte auf $g$ eben keinen Realteil haben, was das Gleichung lösen vereinfachen sollte. Ich vermute mal, du kriegst da irgendeine polynomielle Gleichung in $Re(z)$ raus, die du lösen kannst oder auch nicht.

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Ich danke dir! Ich hoffe den weiteren Verlauf bekomme ich diesmal alleine hin :)   ─   user25e40b 18.05.2024 um 22:40

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Hier hilft denke ich tatsächlich mal die gute alte Skizze. Meld dich, wenn du nicht weiterkommen solltest. Wolfram alpha und co sind dein Freund, wenn es darum geht, Lösungen von Gleichungen zu checken.   ─   crystalmath 19.05.2024 um 10:05

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