Linearität überprüfen von 4x²

Aufrufe: 103     Aktiv: 29.11.2022 um 12:25
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Hallo, ich hätte eine Frage zu folgendes:

Linearität für 4x² prüfen

Also, durch einsetzen sieht man direkt, dass das nicht linear ist, da
f(x+y)=f(x) + f(y) in dem Fall nicht gleich sind. 

Beispiel:
f(2+4) = 4*(6)^2 = 144
f(2) + f(4) = 4*(2)^2 + 4*(4)^2 = 16 + 64 = 80

Somit ist es nicht linear, da f(x+y) != f(x) + f(y)

Wie kann ich das nun ganz formal prüfen, ohne einsetzen?

Mein Ansatz wäre gewesen:

f(x+y) = 4x^2 + 4y^2 <--- das ist denke ich irgendwo ein Fehler || Alternativ hätte ich gesagt: 4x^2 + y^2, aber das ist wäre bestimmt auch falsch, da wenn ich für x = 2 und y = 4 einsetze etwas anderes rauskommt, als oben. 

f(x) + f(y) = 4x^2 + 4y^2

Was leider falsch ist, da sie sonst linear wären. Ich glaube f(x) + f(y) sollte passen, aber das mit f(x+y) ist bestimmt falsch. Wo ist mein Denkfehler?
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Moin,
die Funktion lautet \(f(x)=4x^2\). Wenn du jetzt für das Argument, also x, die Summe x+y einsetzt, erhältst du \(f(x+y)=4\cdot (x+y)^2\). \(f(x)+f(y)\), hast du schon richtig berechnet.
Noch etwas: Es ist i.d.R. besser, ein Gegenbeispiel zu einer Aussage, die man widerlegen soll, zu finden, anstatt den allgemeineren Fall zu beweisen. Es wäre also (wenn nicht explizit anderes gefordert ist) völlig ausreichend zu zeigen, dass \(f(2+4)\neq f(2)+f(4)\)
LG
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Danke dir. Keine Ahnung, warum ich nicht darauf gekommen bin. Aber im nachhinein ist es ja immer "einfach" ;)   ─   pnat 28.11.2022 um 19:54
Das ist erstmal nur eine Gleichung. Dann müsste man noch untersuchen für welche x,y das gilt oder nicht.   ─   mikn 28.11.2022 um 21:48
Genau, da hast du recht. In dem Fall wollte ich nur wissen, ob die Gleichung, die ich für f(x+y) aufgestellt habe, richtig oder falsch war.   ─   pnat 29.11.2022 um 12:03
achsooo... alles klar.   ─   mikn 29.11.2022 um 12:25

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Dein Beispiel ist eine formale Prüfung, bzw. ein formaler Beweis, dass $f$ nicht linear ist.
Beachte, "linear" bedeutet: "für alle $x,y$ gilt....". Das widerlegt man, genau wie Du es gemacht hast, durch ein Gegenbeispiel. Das ist völlig in Ordnung so.
Anders geht es auch nicht. Du kannst hier nicht erwarten, dass etwas allgemein nicht gilt, denn es gibt immer Ausnahmen (d.h. spezielle Werte), für die die Linearitätsbedingung doch erfüllt ist (obwohl $f$ nicht linear ist).
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