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Tipp: Rechne es erstmal für $\mathbb{E}(X(X-1))$ durch. Nutze hierbei an der richtigen Stelle, dass
$$\frac{d}{dp}(1-p)^{k-1}=(k-1)(1-p)^{k-2}.$$
Das sollte dir zeigen, wie es für den Fall $r=2$ geht und ich meine, man kann diese Rechnung dann auch vergallgemeinern, in dem man eben das ganze mit $\frac{d^k}{dx^k}$ macht. Ich tippe die Rechnung nicht vollständig aus, da heute Wochenende ist.
Aus Erfahrung bleiben solche Fragen ehr unbeantwortet hier und Stochastik ist leider nicht gerade mein Gebiet. Aber vielleicht finden wir noch jemanden hier, der dir das besser erklären kann und vielleicht eine elegantere Lösung parat hat. Ich lade also die andere Helfer gerne dazu ein, noch eine Antwort zu posten - würde mich sogar freuen!
Punkte: 622
$$\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^{j+r}=(j+r)(j+r-1)...(j+1)(1-p)^j.$$
Wichtig ist, dass du bei der berechnung von $E(X(X-1))$ NICHT die bereits bekannte Varianz nutz, also du kennst ja $E(X^2)$ (da du $Var(x)$und $E(X)$ kennst) sowie $E(X)$ kennst und dann einfach $E(X(X-1))=E(X^2)+E(X)$ rechnest. ─ crystalmath 18.05.2024 um 15:32
$$
S=\frac{d^r}{dp^r} \sum_{j=0}(1-p)^j
$$
Die summe (ohne die Ableitung) ist die geometrische Reihe. Für die gibt es einen geschlossenen Ausdruck, den den wiederum $r$-mal nach $p$ ableiten kannst. ─ crystalmath 18.05.2024 um 15:34
$E\{X(X-1) \ldots(X-r+1)\} = p^r \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1)\ldots(j+1)(1-p)^{j}$
$= p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$
Betrachte $S= \sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$
$=\frac{d^r}{dp^r}\sum \limits_{j=0}^{\infty}(1-p)^j=\frac{d^r}{dp^r}(\frac{1}{p})$
Mit einfacher Induktion erhalten wir:
$\frac{d^r}{dp^r}(\frac{1}{p})=\frac{(-1)^r r!}{p^{r+1}}$
Oben einsetzen liefert
$p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j=\frac{(-1)^r r!(1-p)^r}{p^{}}$
─ user25e40b 18.05.2024 um 19:09
$$ p^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^{j+r}$$ $$ =p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$$
Da ich ja $\frac{d^r}{dp^r}$ nach p ableite, aber war nur ein Denkfehler :)
─ user25e40b 18.05.2024 um 22:15
─ user25e40b 19.05.2024 um 12:19