Erwartungswert von Geo(p)

Aufrufe: 230     Aktiv: 20.05.2024 um 22:32

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 Bestimmen Sie $\mathbb{E}[X][X-1]....[X-r+1]$
 
Hierbei ist als Hinweis gegeben
$\frac{d^k}{dx^k} \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n \frac{d^k}{dx^k} x^n$
 
Ich habe ein Grundlegendes Verständnis, was die Momente der Geometrischen Verteilung angeht und wie sie sich berechnen lassen mit Hilfe von Differenzieren. Zumindest für die ersten Beiden Momente. Hier kommt bei mir nichts sinnvolles raus
 
Meine ersten Schritte:
$$\mathbb{E}\{X(X-1) \ldots(X-r+1)\} = \sum_{k=r}^{\infty} k(k-1)\ldots(k-r+1)P(X=k)$$ $$= \sum_{k=r}^{\infty} k(k-1)\ldots(k-r+1)(1-p)^{k-1}p$$
 
 
Wie ihr merkt ist sogut wie nichts geschafft. Wäre über Hilfe dankbar :)

EDIT vom 18.05.2024 um 13:42:

Update:
$$E\{X(X-1) \ldots(X-r+1)\} = \sum_{k=r}^{\infty} k(k-1)\ldots(k-r+1)(1-p)^{k-1}p$$
$$ = p^r \sum_{k=r}^{\infty} k(k-1)\ldots(k-r+1)(1-p)^{k-r}$$
$$= p^r \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1)\ldots(j+1)(1-p)^{j}$$

EDIT vom 18.05.2024 um 13:44:

Betracht:
$$S = \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1)\ldots(j+1)(1-p)^{j}$$
differnzieren,
$$\frac{dS}{dp} = \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1)\ldots(j+1)(-j)(1-p)^{j-1}$$
 
 

EDIT vom 20.05.2024 um 21:17:

Für die an der Lösung Intressierten:
probability - Let X be a geometric random variable, show that $E[X(X-1)...(X-r+1)] = \frac{r!(1-p)^r}{p^r}$ - Mathematics Stack Exchange

Mit dem Ansatz von Kavi und viel spielen kommt man auf das Ergebnis, welches für meine definition von $X\sim Geo(p)$ mit $\mathbb{P}(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ bisschen abweicht im Zähler, sofern ich micht nicht verrechnet  habe. Aber müsste stimmen :)
 
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Endlich mal jemand der hier den Dialog sucht, Eigeninitiative zeigt, und Crossposts transparent verlinkt. Und ich kann auch noch was lernen, so muss das sein. Gerne mehr solche Fragen!   ─   maqu 20.05.2024 um 21:39

Ich danke !   ─   user25e40b 20.05.2024 um 22:32
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Tipp: Rechne es erstmal für $\mathbb{E}(X(X-1))$ durch. Nutze hierbei an der richtigen Stelle, dass 

$$\frac{d}{dp}(1-p)^{k-1}=(k-1)(1-p)^{k-2}.$$
Das sollte dir zeigen, wie es für den Fall $r=2$ geht und ich meine, man kann diese Rechnung dann auch vergallgemeinern, in dem man eben das ganze mit $\frac{d^k}{dx^k}$ macht. Ich tippe die Rechnung nicht vollständig aus, da heute Wochenende ist.

Aus Erfahrung bleiben solche Fragen ehr unbeantwortet hier und Stochastik ist leider nicht gerade mein Gebiet. Aber vielleicht finden wir noch jemanden hier, der dir das besser erklären kann und vielleicht eine elegantere Lösung parat hat. Ich lade also die andere Helfer gerne dazu ein, noch eine Antwort zu posten - würde mich sogar freuen!

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ich danke dir erstmal für Antwort. Die Berechnung des zweiten Moments ist mir geläufig. Nur komme ich in dem Fall nicht weiter. Ich bin auch schon bissen weitergekommen. Habe meinen momentanen stand gepostet, wäre über Feedback dankbar. Ich denke es lässt sich aus der Konstellation irgendwas ableiten, aber stehe bis jetzt auf dem Schlau (Vorausgesetzt es gibt keine Fehler bis jetzt) Wäre für weitere Hilfe dankbar :)   ─   user25e40b 18.05.2024 um 13:39

Du musst "andersrum" die Ableitungsidentität nutzen. Also du musst nutzen, dass
$$\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^{j+r}=(j+r)(j+r-1)...(j+1)(1-p)^j.$$
Wichtig ist, dass du bei der berechnung von $E(X(X-1))$ NICHT die bereits bekannte Varianz nutz, also du kennst ja $E(X^2)$ (da du $Var(x)$und $E(X)$ kennst) sowie $E(X)$ kennst und dann einfach $E(X(X-1))=E(X^2)+E(X)$ rechnest.
  ─   crystalmath 18.05.2024 um 15:32

Jetzt kannst du weiterhin rechnen:
$$
S=\frac{d^r}{dp^r} \sum_{j=0}(1-p)^j
$$
Die summe (ohne die Ableitung) ist die geometrische Reihe. Für die gibt es einen geschlossenen Ausdruck, den den wiederum $r$-mal nach $p$ ableiten kannst.
  ─   crystalmath 18.05.2024 um 15:34

mein stand jetzt korrigiert:
$E\{X(X-1) \ldots(X-r+1)\} = p^r \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1)\ldots(j+1)(1-p)^{j}$
$= p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$
Betrachte $S= \sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$
$=\frac{d^r}{dp^r}\sum \limits_{j=0}^{\infty}(1-p)^j=\frac{d^r}{dp^r}(\frac{1}{p})$
Mit einfacher Induktion erhalten wir:
$\frac{d^r}{dp^r}(\frac{1}{p})=\frac{(-1)^r r!}{p^{r+1}}$
Oben einsetzen liefert
$p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j=\frac{(-1)^r r!(1-p)^r}{p^{}}$
  ─   user25e40b 18.05.2024 um 19:09

Okay und warum nicht? Jetzt bin ich neugierig. Hast du dich verrechnet oder so...? Konzeptionell sollte das Argument nämlich stimmen.   ─   crystalmath 18.05.2024 um 21:13

ich war mir nicht so sicher, ob ich die $(1-p)^r$ rausziehen kann in dem Folgenden Schritt
$$ p^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^{j+r}$$ $$ =p^r(1-p)^r\sum \limits_{j=0}^{\infty}\frac{d^r}{dp^r}(1-p)^j$$
Da ich ja $\frac{d^r}{dp^r}$ nach p ableite, aber war nur ein Denkfehler :)
  ─   user25e40b 18.05.2024 um 22:15

Die identität, die du gerade geschrieben hast, stimmt tatsächlich nicht. Ich habe jetzt nicht jeden Schritt von dir nachvollzogen...   ─   crystalmath 19.05.2024 um 10:04

dachte ich es mir doch. Alles gut lassen wir es erstmal damit :)   ─   user25e40b 19.05.2024 um 10:16

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https://math.stackexchange.com/questions/4918969/expected-value-of-geop für die, die die Frage weiterverfolgen wollen. Wobei ich den Eindruck habe, dass du einfach nur noch diese Tricks mit geometrischer REihe und differenzieren korrekt kombininieren musst.   ─   crystalmath 19.05.2024 um 10:22

danke, dass du das Verlinken übernommen hast :)

  ─   user25e40b 19.05.2024 um 12:19

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