Häufungspunkte des Intervalls

Aufrufe: 428     Aktiv: 25.01.2021 um 14:52
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Hallo!

Ich habe das Intervall I=(a,b) als Teilmenge der reellen Zahlen gegeben und soll nun alle Häufungspunkte bestimmen.

Aus der Vorlesung weiß ich, dass alle Punkte aus I sowie a und b Häufungspunkte sind.

Wir haben das Delta- und das Folgen-Kriterium behandelt und mir ist auch klar, wie das hier anzuwenden wäre, ich weiß nur nicht, wie ich das notieren soll. Ich kann doch nicht einfach ohne Beweis sagen, dass z.b. eine Folge in I existiert, die gegen a konvergiert, oder doch?

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Für die Punkte in I reicht es, dass sie innere Punkte sind, also eine Umgebung von ihnen in I liegt. Mit der Umgebung kannst du begründen, dass sieHäufungspunkte sein müssen, weil es eine solche Folge geben muss. 

Für a und b würde ich nach einer expliziten Folge suchen, da nicht in allen Räumen und bei allen Mengen gilt, dass Randpunkte auch Häufungspunkte sind!
Hast du eine Idee welche Folgen du da wählen könntest? Sonst helfe ich gern weiter

viele Grüße, jojoliese

 

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Student, Punkte: 2.18K

 
Dankeschön!
Für die expliziten Folgen vielleicht a+(b-a/n) bzw b-(b-a/n)?   ─   lunaphile 25.01.2021 um 14:39
Die Idee mit dem durch n ist genau richtig, aber es ist noch nicht ganz korrekt. du musst sicherstellen, dass die Folge komplett in I liegt
Es gibt verschiedene Lösungen, ich würde es so wählen:

egal wie klein dein Intervall ist, es gibt ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) sodass \( a+\frac{1}{n_{0}} \) im Intervall liegt. Die Folge \( a_{n}:=\{ a+\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}\} \) liegt ab diesem \( n_{0} \) in I und konvergiert gegen a
für b das gleiche mit \( b_{n}:= b-\frac{1}{n} \) wieder ab einem bestimmten Glied in I   ─   jojoliese 25.01.2021 um 14:45
die Folge muss also nicht für alle Folgenglieder in I liegen, sondern es reicht wenn nur eine endliche Anzahl außerhalb liegt?
Darüber war ich nämlich kurz gestolpert.   ─   lunaphile 25.01.2021 um 14:50
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das stimmt, es reicht wenn eine endliche Anzahl außerhalb liegt. aber ich habe einfach bei \( n_{0} \) angefangen, also quasi die Folge vorn abgeschnitten, sodass alle Glieder drin liegen   ─   jojoliese 25.01.2021 um 14:52

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