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Ermittle n: Die Summe aus n, ihrer Quersumme Q(n) und Q(Q(n)) ist 2022.

Erste Frage Aufrufe: 499 Aktiv: 04.04.2024 um 11:28

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Ermitteln Sie alle natürlichen Zahlen n, für die gilt: Die Summe aus n, ihrer Quersumme Q(n) und deren Quersumme (Q(Q(n)) beträgt 2022.

Was ich schon "herrausgefunden" habe und vllt hilfreich ist:
- Restklasse mit mod 3 bleibt bei Bildung der Quersumme gleich
- Primmzahlzerlegung 2022: 2022=2*3*337
- n>Q(n)>Q(Q(n))

Habe leider keine Idee wie ich damit weiter vorgehen könnte, und wäre dankbar für jede Hilfe.

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gefragt 02.04.2024 um 07:44

userafd382
Punkte: 14

1

Quelle der Aufgabe? Du wirst schon Gleichung(en) aufstellen müssen. ─ mikn 02.04.2024 um 12:52

Korrespondezzirkel; das ich Gleichungen aufstellen müssen werde ist mir bewusst, nur weiß ich nicht wirklich,
was für Gleichungen sein könnten ... ─ userafd382 02.04.2024 um 14:45

Ich frage, weil das sehr nach einer Wettbewerbsaufgabe aussieht. "Korresponzzirkel" sagt mir nichts, bitte genauer. Und zur Lösung könntest Du ein Programm schreiben und Durchprobieren, ist vermutlich das schnellste. Und Gleichung(en): eine steht ja in der Aufgabe. ─ mikn 02.04.2024 um 14:55

würde mich doch sehr wundern wenn es zu der Aufgabe eine vernünftige Lösung gäbe. Weil Q(Q(n))=2022 muss Q(n) mindestens 225 Stellen haben (vermutlich viel mehr) und n also (vermutlich viel) mehr als

$9^{224}$ Stellen. Die kleinste solche Zahl ist

$10^{9^{224}}$ . Die Lösung könnte man also, fall existent kaum aufschreiben. Möglich wäre, dass überhaupt keine Lösung existiert aber ich habe keine Idee, wie man das beweisen könnte. ─ fix 02.04.2024 um 19:41

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@fix es soll glaube ich

$Q(Q(n))\neq 2022$ sein. Es sind alle

$n\in \mathbb{N}$ gesucht, die

$n+Q(n)+Q(Q(n))=2022$
erfüllen.
Da

$n<2022$ gelten muss, ist

$Q(n)$ damit dann schon nur noch höchstens zweistellig. ─ maqu 02.04.2024 um 20:44

Oh, da hab ich die Aufgabe wohl nicht richtig gelesen... ─ fix 02.04.2024 um 22:24

Korrespondenzzirkelaufgaben sind zum trainieren für Wettbewerbe gedacht; Welche gleich meinst du?
n+Q(n)+Q(Q(n))=2022; n mod 3 = Q(n) mod 3 = Q(Q(n)) mod 3; es gäbe viele Gleichungen, aber bisher hat mich keine zu einer "schönen" Lösung geführt...; durchprobiert habe ich den möglichen Zahlenbereich kommen , allerdings ist das keine schöne Lösung... ─ userafd382 02.04.2024 um 22:39

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1 Antwort

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fix · Accepted Answer · 2024-04-02T22:47:38Z

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Moin,

es bietet sich an mod 9 zu arbeiten. Es gilt $n \equiv Q(n) \text{ (mod 9) }$ und daher $3n\equiv 6 \text{ (mod 9) }$ Es folgt $n\equiv 2, 5, 8 \text{ (mod 9) }$ Außerdem ist $n<2022$ also $Q(n)\le Q(1999)=28$ und $Q(Q(n))\le Q(28)=10$ . Es folgt mit der Anfangsgleichung $n\ge1984$ Da $1985 \equiv 2 \text{ (mod 9) }$ reicht es jetzt alle Zahlen in Dreierschritten von 1985 bis 2019 zu checken. Man erhält dann $n\in \{1988, 1994, 2006, 2009\}$
LG

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geantwortet 02.04.2024 um 22:47

fix
Student, Punkte: 3.85K

ich verstehe den zweiten und dritten Schritt nicht wirklich könntest, du bitte nochmal erklären wieso aus

$n\mod{9}\equiv Q(n)\mod{9}$ die zweite und dritte Gleichung folgt?
Aber vielen lieben Dank!
─ userafd382 02.04.2024 um 23:05

1

$n\equiv Q(n) \equiv Q(Q(n)) \text{ (mod 9) }$ also

$n+Q(n)+Q(Q(n)) \equiv3n\equiv 2022\equiv 6 \text{ (mod 9) }$ und die dritte Gleichung folgt entweder durch probieren von

$n=0, 1, ..., 7, 8$ oder durch "teilen" modulo 9:

$9| 3n-6 \iff9|3(n-2) \iff 3|n-2$ also

$n\equiv 2 \text{ (mod 3) }$ was zu

$n\equiv 2, 5, 8$ (mod 9) führt. ─ fix 03.04.2024 um 12:48

Danke!
─ userafd382 04.04.2024 um 11:28

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