Es ist nicht sehr geschickt vom Aufgabensteller in b) die Bezeichnung $\vec y_2$ zu verwenden. Ich formuliere den Ansatz daher mal um:
Sei $\vec y$ die in a) bestimmte Lösung des hom. Systems. Bestimmen Sie eine zweite Lösung $\vec v$ des hom. Systems mit dem Ansatz
$\vec v(x)=\Phi(x)\vec y(x) + \binom{b(x)}0$.

Daraus kann man nun auch rückschließen, was $\Phi(x)$ und $b(x)$ für Objekte sind.
Wenn man dann alles einsetzt und kombiniert, kommt man auf eine Dgl für $b(x)$. Mit $b(x)$ kann man wiederum $\Phi(x)$ bestimmen. Das ist aber nur ein möglicher Rechenweg, und ich habe da nicht weitergerechnet (weil es zu mühselig ist und ich auch nicht sicher bin bis dahin fehlerlos gerechnet zu haben).