Algebraische Strukturen - Übungsbeispiel

Aufrufe: 79     Aktiv: 27.09.2021 um 20:31

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Hallo, ich habe eine Frage zu meinem Übungsbeispiel.
Eine abelsche Gruppe = Ich muss Sachen vertauschen können. Soweit sogut.

Ich verstehe nur nicht wie man hier starten soll. Wie kann ich nachsehen ob die Menge eine abelsche Gruppe ist. Ich weiß wie man modulo rechnet. Ich verstehe aber nicht was ich hier rechnen soll?

Ich habe mir den Satz ausgeschrieben hingeschrieben damit ich lesen kann was gemeint ist. Hilft mir auch nicht weiter. 

Ich hänge hier komplett und weiß nicht weiter :(



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Du musst hier nur wissen wie \(+_4\) definiert ist. Das könnte in etwa so sein: \([a] +_4 [b] := [a+b]\). Jetzt könntest du zeigen, dass dies unabhängig von der Wahl der Representanten ist und anschließend ganz einfach die Eigenschaften überprüfen (durch Einsetzen der Definition). So sieht beispielsweise etwa der Nachweis der Assoziativität aus: \(([a] +_4 + [b])+_4 [c] = [a+b] +_4 [c] = [a +b + c] = [a] +_4 ([b]+_4 [c])\).
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Was genau bedeutet dieses +4. Ist 4 jetzt modulo 4 oder steht das für etwas anderes?   ─   theluckyguy 27.09.2021 um 15:40

Im Prinzip steht es für modulo 4. Etwas genauer steht es für die Nebenklasse \(4\mathbb{Z}\), da du ja die Quotientengruppe \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) betrachtest. Ich habe mal eine Beweisskizze zur Assoziativität an meine Antwort angehängt.   ─   mathejean 27.09.2021 um 15:43

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Hallo,

nicht die abelsche Gruppe muss kommutativ sein, sondern die Verknüpfung muss kommutativ sein.

$(\mathbb Z, +)$ ist die Gruppe mit den ganzen Zahlen als Elementen und der Verknüpfung $+$ wie man sie aus der Schule kennt. 

Die Kommutativität zeigst du, indem du das allgemein für alle Zahlen zeigst. Wie ist den die Modulo Operation definiert?

Grüße Christian
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Hallo Christian, danke für deine Hilfe! Das klingt interessant etwas "Allgemein für alle Zahlen zeigen" wie mache ich das den? Also Modulo rechnen geht so wenn du das meinst: 25/7= 3 Rest: 4 der Rest ist das Ergebnis...   ─   theluckyguy 27.09.2021 um 15:44

Das ist schwer zu pauschalisieren. Aber es macht mehr Sinn es sich direkt für alle betroffenen Zahlen zu überlegen. Hier besteht deine Menge nur aus 5 Elementen und du könntest theoretisch auch für jede einzelne Rechnung zeigen, dass sie kommutativ ist, aber das ist zu viel Schreibarbeit und geht auch kürzer :)

Genau. Modulo vergleicht Zahlen durch die Betrachtung des Restes bei der Division durch eine feste Zahl (hier durch 4).
Habt ihr denn in eurem Skript irgendwo Modulo definiert? Also wie kann man $1 \mod 4 = 1$ auch anders schreiben? Mit Grundrechenarten die dir schon bekannt sind.
  ─   christian_strack 27.09.2021 um 15:49

Hallo, also das "Script" stelle ich mir gerade selber zusammen. Finde leider gerade nicht wirklich wie man modulo anders schreiben kann.   ─   theluckyguy 27.09.2021 um 16:10

Ok. Also grundlegend wird Modulo wie folgt definiert:
$$ a \mod m \equiv b \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb Z : a-b = t \cdot m \Leftrightarrow \exists t_a, t_b \in \mathbb Z : a = t_a \cdot m + r \ \text{und} \ b = t_b \cdot m + r$$
Also zwei Zahlen sind kongruent Modulo $m$, wenn bei der Division dieser Zahlen der selbe Rest herauskommt.
Jetzt kann man durch diese Definition zeigen, dass hier eine Äquivalnzrelation vorliegt und das die Addition zwei Elemente $a \mod m$ und $b \mod m$ gleichbedeutend mit der Addition in den Restklassen ist
$$ [a] +_4 [b] = [a+b] $$
Damit kann man es dann so beweisen wie mathejean es gezeigt hat. Falls diese Vorarbeit aber nicht erfolgt ist, können wir das nicht so einfach machen.
Wir müssen also die grundlegende Definition nutzen und zeigen, dass die Addition von zwei Elementen modulo m gleich der Addition ihrere Reste ist.
Wir betrachten mal $a \mod m \equiv b$ und $c \mod m \equiv d$. Dann gilt $a-b= t_1m$ und $c-d= t_2m$.
$$ a-b+c-d = \ldots $$
versuch dich mal ein bisschen :)
  ─   christian_strack 27.09.2021 um 17:09

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Du musst einfach nur die Gruppenaxiome prüfen. Beachte dass du es mit Restklassen zu tun hast. Das sind Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation$$a \sim b :\iff b-a \in 4\mathbb{Z}.$$
Der einfachste Weg ist es die Kommutativität einfach direkt nachzuweisen. Du kannst aber ebenfalls zeigen, dass $M = \langle 1\rangle$ eine zyklische Gruppe ist. Und da $M$ endlich ist, sind $M$ und  $\mathbb Z_4$ isomorph (als Gruppen). Daraus folgt dann bereits die Kommutativität.

In der b) musst du überlegen, ob $M$ nicht-triviale Nullteiler enthält. Ein Nullteiler in einem (kommutativen) Ring $R$ ist ein Element $a \in R$ für das ein $b\in R$ existiert, so dass $ab = 0$. 

 

 

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Ich glaube die Antwort geht weit über das Niveau des Fragestellers hinaus....   ─   cauchy 27.09.2021 um 20:31

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