Dein Weg sieht auch gut aus. Die erste Wurzel ist größer als \(n\), die zweite Wurzel ist größer als \(1\), das heißt alles zusammen ist größer als \(n+1+\sqrt{n+1}\).

Der andere Ansatz ist (bis auf ein paar fehlende Klammern) ebenfalls korrekt. Es gilt ja \(n\sqrt{n+1}>n\sqrt n>n+\sqrt n\), wobei im ersten Schritt die Monotonie der Wurzel und im zweiten Schritt die Induktionsvoraussetzung benutzt wurde. 

Ich hoffe, das klärt alle Probleme, ansonsten frag gern nochmal nach.

Wenn ich das richtig überblicke folgt die dir unklare Schlussfolgerung aus der Induktionsvoraussetzung. Dort setzt du voraus, dass \( n \cdot \sqrt{n} > n + \sqrt(n) \) Dadurch, dass die Wurzel von n+1 größer ist als die Wurzel von n gilt folglich auch \( n \cdot \sqrt{n+1} > n \cdot \sqrt(n) > n + \sqrt(n) \)

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Ich studiere Geoökologie und nicht Mathe, d.h. meine Lösung reicht vllt nicht aus für HM o.ä.. Ich verstehe nicht ganz, was ihr mit euren Rechnungen beweisen wollt, deswegen poste ich diesen Lösungsvorschlag einer Vollständige Induktion. Hoffentlich bringt es dich weiter :)