Stammfunktionen, ln(x)

Aufrufe: 47     Aktiv: 08.09.2021 um 21:30

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Hallo zusammen,
mir ist beim bearbeiten von Aufgaben gerade etwas aufgefallen.
Und zwar: 
Wenn meine Funktion f1(x)= x^(-3) lautet und ich aufleiten will, dann schreibe ich nicht um in f1(x)= 3/x, wo ich  für F1(x) dann ln(x) anwenden könnte. Sondern ich leite auf in -1/2x^(-2)+c.
Wenn ich allerdings die Funktion
f2(x)= 2/x habe, dann wende ich ln(x) an und erhalte F2(x)= 2ln(x)+c.
Warum dieser Unterschied bei der Aufleitung? Und wenn ich dann bei f2(x) so rechnen wollte, wie bei f1(x), also bei f2(x) dann umschreiben in x^(-2) und bei F2(x)nun-x^(-1), kommt aber ein unterschiedliches Ergebnis raus wenn man x einsetzt. Wie kann das sein?  Bitte um Erklärung. Müsste doch bei beiden Varianten das gleiche raus kommen oder? Egal ob ich bei z.b. 2/x direkt ln(x) anwende oder ob ich umschreibe in x^(-2) und das dann aufleite, wäre doch gleich oder nicht?
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Genau gleich ist es nämlich nicht. Dann hast du dich verrechnet. Es ist $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$. Wenn wir das nach den normalen Regeln aufleiten, also den Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten dividieren, erhalten wir $F(x)=\frac{x^0}{0}=\frac{1}{0}$. Da die Division durch 0 aber nicht definiert ist, funktioniert dieser weg nicht. Die Potenzregel ist hier also nicht anwendbar. Daher braucht man einen anderen Weg um die Stammfunktion von $f$ zu berechnen. Möglichkeit zur Herleitung (je nachdem, was schon bekannt ist): 

Betrachte $g(x)=\ln(x)$. Dies lässt sich auch schreiben als $\mathrm{e}^{g(x)}=\mathrm{e}^{\ln(x)}=x$. Leiten wir beide Seiten ab, so erhalten wir nach der Kettenregel (linke Seite) $g'(x)\mathrm{e}^{g(x)}=1$ bzw. $g'(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{g(x)}}=\frac{1}{x}$, da $\mathrm{e}^{g(x)}=x$ war.  Damit haben wir gezeigt, dass die Ableitung von $g(x)=\ln(x)$ gerade $g'(x)=\frac{1}{x}$ ist. Und deswegen ist der Logarithmus dann eine entsprechende Stammfunktion. 

Alternativ ließe sich die Ableitung vom Logarithmus auch mit Hilfe des Differentialquotienten berechnen.
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Aber warum macht es einen Unterschied, wenn ich x^(-3) direkt aufleite in -1/2x^(-2)+c oder ob ich x^(-3) umschreibe in 3/x und es dann in 3ln(x) aufleite?   ─   user94f482 08.09.2021 um 21:21

Weil $x^{-3}\neq \frac{3}{x}$ gilt!   ─   cauchy 08.09.2021 um 21:23

Dann muss ich wohl erst nochmal die Potenzregeln auffrischen 😬 danke für deine Zeit und für die Antwort!   ─   user94f482 08.09.2021 um 21:28

Der Fehler liegt also in der falschen Anwendung der Potenzregeln, nicht in der Mathematik. ;)   ─   cauchy 08.09.2021 um 21:30

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