Genau gleich ist es nämlich nicht. Dann hast du dich verrechnet. Es ist $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$. Wenn wir das nach den normalen Regeln aufleiten, also den Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten dividieren, erhalten wir $F(x)=\frac{x^0}{0}=\frac{1}{0}$. Da die Division durch 0 aber nicht definiert ist, funktioniert dieser weg nicht. Die Potenzregel ist hier also nicht anwendbar. Daher braucht man einen anderen Weg um die Stammfunktion von $f$ zu berechnen. Möglichkeit zur Herleitung (je nachdem, was schon bekannt ist): 

Betrachte $g(x)=\ln(x)$. Dies lässt sich auch schreiben als $\mathrm{e}^{g(x)}=\mathrm{e}^{\ln(x)}=x$. Leiten wir beide Seiten ab, so erhalten wir nach der Kettenregel (linke Seite) $g'(x)\mathrm{e}^{g(x)}=1$ bzw. $g'(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{g(x)}}=\frac{1}{x}$, da $\mathrm{e}^{g(x)}=x$ war.  Damit haben wir gezeigt, dass die Ableitung von $g(x)=\ln(x)$ gerade $g'(x)=\frac{1}{x}$ ist. Und deswegen ist der Logarithmus dann eine entsprechende Stammfunktion. 

Alternativ ließe sich die Ableitung vom Logarithmus auch mit Hilfe des Differentialquotienten berechnen.