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Offensichtlich und auch in der eigentlichen Aufgabenstellung zu beweisen ist die Folge monoton fallend und konvergiert gegen 0. Meine Frage wäre zum einen ob mein Induktionsanfang korrekt ist, zum anderen wie genau der Induktionsschritt aussieht. Um das mittels Induktion zu beweisen müsste ich doch dann irgendwie $a_{n+1} - a_{n+2} > 0$ beweisen. Hab echt Probleme die Induktionsschritte bei solchen Aufgaben nachzuvollziehen.

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Am besten zeigst du hier \(a_{n+2}\leq a_{n+1}\). Fange also mit \(a_{n+2}\) an und setze die Definition ein, danach nutze die Induktionsannahme und die Monotonie der Wurzel und dann steht da schon was du willst. Dein Induktionsanfang kann ich leider nicht nachvollziehen,  du hast doch gar keinen Wert für \(a_0\), arbeite hier mit der Definition von \(a_1\) und wieder mit der Monotonie der Wurzel, du weißt ja, dass \(0<a_0<1\).
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Es fängt damit an, die Beh. sauber, komplett aufzuschreiben. Hier also:
Geg. $a_n=....$ mit $a_0=0.5$??? (ich spekuliere hier, diese Angabe fehlt). Dann gilt $a_n>a_{n+1}$ für alle $n\in N_0$.
Ind. Anf.: Zeige die Aussage für $n=0$ (nicht mehr, aber auch nicht weniger).
Ind. Ann.: Ang. für ein $n$ gilt: $a_n>a_{n+1}$
Ind. Beh.: Dann gilt: $a_{n+1}>a_{n+2}$.
Das ist soweit die minimale Aufschreibversion. Hier ist kein Wort zuviel. Weglassen würde in meiner Klausur zu Punktabzug führen.
Jetzt erst kommt der Ind. Schritt:
Beh. hinschreiben und unter Benutzung der Def. äquivalent umformen und (hoffentlich) auf die Ind. Ann. stossen (ist normalerweise nicht der einfachste Weg, aber für Anfänger doch).

Eigentlich muss man vorher erstmal per Induktion nachweisen, dass $a_n\in (0,1)$ für alle $n$ - sonst die Folge gar nicht definiert.
Bei Schwierigkeiten mit der Rekursionsformel (die für alle $n$) gilt: Schreibe die Def. hin für $a_7=..., a_{25}=..., a_{u+v+1}=..., a_{u+3}=...$. Nicht rechnen, nur hinschreiben..
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So wie ich die Aufgabe verstehe ist \(a_0 \in (0,1)\) und kein fester Wert bekannt, er hat einfach nur 0,5 genommen weil es in der Mitte liegt...   ─   mathejean 12.03.2022 um 15:12

@mathejean: Kann gut sein.   ─   mikn 12.03.2022 um 15:17

@mathejean Ich habe tatsächlich einfach $\frac{1}{2}$ genommen da ich nicht wusste wie ich sonst den Induktionsanfang machen soll.   ─   user89b235 12.03.2022 um 15:20

Daher hab ich es Dir ganz genau aufgeschrieben, dann passiert sowas auch nicht. Den Ind. Anf. kannst Du auch durch Äquivalenzumformungen nachweisen.   ─   mikn 12.03.2022 um 15:23

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