Am besten zeigst du hier \(a_{n+2}\leq a_{n+1}\). Fange also mit \(a_{n+2}\) an und setze die Definition ein, danach nutze die Induktionsannahme und die Monotonie der Wurzel und dann steht da schon was du willst. Dein Induktionsanfang kann ich leider nicht nachvollziehen,  du hast doch gar keinen Wert für \(a_0\), arbeite hier mit der Definition von \(a_1\) und wieder mit der Monotonie der Wurzel, du weißt ja, dass \(0<a_0<1\).

Es fängt damit an, die Beh. sauber, komplett aufzuschreiben. Hier also:
Geg. $a_n=....$ mit $a_0=0.5$??? (ich spekuliere hier, diese Angabe fehlt). Dann gilt $a_n>a_{n+1}$ für alle $n\in N_0$.
Ind. Anf.: Zeige die Aussage für $n=0$ (nicht mehr, aber auch nicht weniger).
Ind. Ann.: Ang. für ein $n$ gilt: $a_n>a_{n+1}$
Ind. Beh.: Dann gilt: $a_{n+1}>a_{n+2}$.
Das ist soweit die minimale Aufschreibversion. Hier ist kein Wort zuviel. Weglassen würde in meiner Klausur zu Punktabzug führen.
Jetzt erst kommt der Ind. Schritt:
Beh. hinschreiben und unter Benutzung der Def. äquivalent umformen und (hoffentlich) auf die Ind. Ann. stossen (ist normalerweise nicht der einfachste Weg, aber für Anfänger doch).

Eigentlich muss man vorher erstmal per Induktion nachweisen, dass $a_n\in (0,1)$ für alle $n$ - sonst die Folge gar nicht definiert.
Bei Schwierigkeiten mit der Rekursionsformel (die für alle $n$) gilt: Schreibe die Def. hin für $a_7=..., a_{25}=..., a_{u+v+1}=..., a_{u+3}=...$. Nicht rechnen, nur hinschreiben..