Geschwindigkeit der Volumenänderung

Aufrufe: 50     Aktiv: 08.02.2021 um 20:23

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Hallo, 
ich komme bei einer Aufgabe nicht so recht weiter.
Bei der Aufgabe soll man die Geschwindigkeit der Volumensänderung einer Kugel berechnen (in cm^3/h), deren Radius sich mit -2/5 cm/h ändert. Das Volumen der Kugel beträgt (256/3)*Pi.

Da das Volumen einer Kugel mit 4/3*Pi*r^3 berechnet wird, habe ich zunächst den Anfangsradius berechnet und bin auf 4 cm gekommen. Für die Berechnung des Radius zum Zeitpunkt t habe ich dann die Formel -2/5 cm/h *t+4 aufgestellt und diese in die Gleichung für das Volumen einer Kugel für r eingesetzt. Um die Volumenänderung zu bestimmen, habe ich dann diese Gleichung abgeleitet. Wie komme ich nun auf die Geschwindigkeit der Volumensänderung pro h? Muss ich dafür die zweite Ableitung bilden? das habe ich schon versucht, aber dann scheint es mit den Einheiten nicht mehr hinzukommen.. ich bin etwas ratlos und für jede Hilfe dankbar

Lg
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Einmal ableiten reicht (die erste Ableitung ist ja genau die Änderung der Größe), und dann \(t=0\) einsetzen, um die Volumenänderung zum richtigen Zeitpunkt zu finden.
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Vielen Dank :) aber ich verstehe nicht ganz warum t=0 sein muss?   ─   josephine 08.02.2021 um 19:16

Du hast ja deine Gleichung für den Radius so angesetzt, dass der aktuelle Zeitpunkt bei \(t=0\) ist. Wenn du also die Volumenänderung zu diesem Zeitpunkt finden möchtest, musst du \(t=0\) einsetzen.   ─   stal 08.02.2021 um 19:21

Achso okay, das verstehe ich. Da habe ich -(128/5)*pi raus. Aber wenn es nur zum Zeitpunkt t=0 gilt, ist das dann trotzdem die Geschwindigkeit der mit der sich das Volumen ändert? Da die Ableitung ja eine Funktion 2. Grades ist, ist die Geschwindigkeit dann doch zu jedem Zeitpunkt anders, wenn ich das richtig verstanden habe   ─   josephine 08.02.2021 um 19:34

Das ist die Geschwindigkeit, mit der sich das Volumen zum aktuellen Zeitpunkt ändert. Ja, diese Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit.   ─   stal 08.02.2021 um 19:45

okay, alles klar :) vielen Dank   ─   josephine 08.02.2021 um 20:23

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