Aufgabe zu endlichen Gruppen

Aufrufe: 106     Aktiv: 12.05.2022 um 00:24

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Hallo,
ich weiß, dass ich für die Aufgabe beweisen muss, dass
0.) Abgeschlossenheit
1.) Assoziativität (kann ich mir ja laut Aufgabenstellung sparen)
2.) Existenz eines neutralen Elements
3.) Existens eines inversen Elements

Wenn ich eine Gruppe wie (R,+) habe: Also eine Gruppe mit 0 als neutralem Element und -a (a Element von R) als Inverses verstehe ich das.
Aber ich verstehe nicht, wie ich diese Frage mit einer endlichen Menge M und einer solchen Multiplikationstabellen als Verknüpfung beantworten soll. Kann mir jemand helfen?
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Student, Punkte: 12

 
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1 Antwort
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Hallo

Also du musst schauen ob all deine Punkte erfüllt sind oder gegebenenfalls aufzeigen welcher Punkt nicht erfüllt ist und weshalb. Dafür musst du z.B. für alle Elemente zeigen, dass es deine Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist. Das siehst du ja aber ziemlich schnell in deiner Tabelle.
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Student, Punkte: 1.62K

 

Den Punkt mit der Abgeschlossenheit kann ich nachvollziehen. Also, dass beide Mengen bezüglich ihren Verknüpfungen abgeschlossen sind, weil alle Elemente unter dem Strich bzw rechts neben dem Strich in der Ergebnismenge auch Element von M sind. Aber bei dem neutralen und inversen Element versteh ich nicht so ganz wie ich da drauf komme: z. B. in der ersten Tabelle in der 2. Zeile für +: 1+2 = 3 Also der Punkt (1,2) wird durch die Abbildung zu 3. Von was muss ich dann das Neutrale bzw Inverse nehmen?   ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:28

Wenn du nun eine allgemeine Menge $G$ hast und eine beliebige Verknüpfung $*_G$ was ist denn im Allgemeinen genau die Definition eines inversen Elements respektive eines neutralen Elements?
  ─   karate 11.05.2022 um 22:31

Für ein neutrales Element n gilt n∗g = g und für ein inverses Element g' gilt g'∗g = n
  ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:37

Bei den Definitionen musst du wirklich präzise sein. Zuerst musst du angeben für welche $g$ beide Definitionen denn gelten sollen. Und dann sprichst du hier nur von Linksneutral und Linksinvers und nicht von neutral und und invers. Also bitte schau das nochmals genau nach.   ─   karate 11.05.2022 um 22:42

1.) Es existiert ein neutrales Element n ∈ G, d.h. es existiert ein n ∈ G, so dass für alle a ∈ G gilt: n ∗ a = a. und 2.) Zu jedem a ∈ G existiert ein inverses Element a* ∈ G, d.h. ein Element a* ∈ G mit a* ∗ a = n. So stehts in meinem Skript...   ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:48

und was hast du in deinem Skript als $G$ definiert ( ist das eine allgemeine Menge oder schon eine Gruppe)?
  ─   karate 11.05.2022 um 22:50

.. wobei das Linksinverse bzw Linksneutrale hier wahrscheinlich durch das links hinschreiben angedeutet ist, wenn auch nicht in dem Wort Inverses bzw Inverses nochmal dazu geschrieben   ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:50

Unter einer Gruppe (G, ∗) versteht man eine Menge G zusammen mit einer Abbildung: G × G → G, (a, b) |→ a ∗ b (der zweite Pfeil soll ein abgebildet werden Pfeil darstellen..)
  ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:52

also G ist nur eine allgemeine Menge..   ─   mathe_99 11.05.2022 um 22:54

Hmm komisch, denn diese Definition stimmt laut mir nicht ganz.

Nun aber mal von vorne.
Ich kann eine allgemeine Menge $M$ wählen (das ist keine Gruppe) und dann kann ich eine Verknüpfung $$*_M:M\times M\rightarrow M$$ definieren so dass $$(m,m')\mapsto m*_Mm'$$ Nun kann ich folgende Elemente definieren.

1) Ein Element $e\in M$ heisst neutrales Element falls für alle $m\in M$ gilt $$e*_Mm=m*_Me=m$$ (dabei sagt man wenn nur gilt $e*_Mm=m$ für alle $m\in M$, dass $e$ linksneutral ist und sonst rechtsneutral. Also du siehst ein Element ist neutral falls es linksneutral und rechtsneutral ist.)

2)Sei nun $e\in M$ ein neutrales Element und wir wählen $m,m'\in M$. Dann sagen wir dass $m'$ das Inverse von $m$ ist falls $$m'*_Mm=m*_Mm'=e$$ und man schreibt meistens bei einer additiven Verknüpfung $m'=(-m)$ oder bei einer multiplakativen Verknüpfung $m'=m^{-1}$. (Wenn wieder nur $m'*_Mm=e$ oder $m*_Mm'=e$ gilt, so sagen wir $m'$ ist ein Linksinverse respektive Rechsinverse von $m$).


Wie du siehst sind hier die Definitionen allgemein gemacht. Ich kann nun aber $M$ auch spezifisch als eine Gruppe $G$ wählen. Nun kommen wir an den Punkt wieso ich der Meinung bin, dass Linksinvers respektive Linksneutral nicht genügt so wie ihr das habt. Denn in einer Gruppe wird die Definition eines inversen respektive neutralen Elements nicht erfüllt wenn ihr nur sagt $m'*_Mm=e$ oder $e*_Mm'=m'$. Eure Definition würde nur genügen falls $G$ abelsch ist, denn dann ist klar dass aus $m'*_Mm=e$ direkt folgt dass auch $m*_Mm'=e$. Doch so wie du gesagt hast, habt ihr einfach nur eine beliebige Gruppe gewählt und da bin ich der Meinung ist die Definition von Invers und Neutral nicht vollständig. Ausser ich irre mich.


Verstehst du was ich meine?
  ─   karate 11.05.2022 um 23:06

Ja, ich verstehe was du meinst. Wenn ich nach der Def z. B. auf Wikipedia schau, wird auch von Neutralem Element und inversem Element geredet (also nicht nur Linksinvers bzw. Rechtsinvers). Ich denke, dass dann in dem Skript (da dort ja auch von inversem bzw neutralem Element geschrieben wird) einfach vergessen wurde bei der Def nochmal das ganze umzudrehen für das zusätzliche rechtsinverse und rechtsneutrale..   ─   mathe_99 11.05.2022 um 23:18

Okey ja das ist wichtig, dass du die Definition verstanden hast. Denn bei solchen Dingen bin ich der Meinung, dass wenn du die Definition wirklich gut verstehst, dann sind diese Aufgaben ziemlich gut lösbar (darum habe ich auch so ausgeholt). So also gut wenn du nun also überprüfen möchtest, dass deine angebliche Gruppen ein neutrales Element hat was must du nun tun (wir verwenden mal meine Definition).

(Ich würde dann vielleicht deinen Prof. fragen wieso ich das nicht so definiert habt. Vielleicht gibt es einen Grund, aber der könnte noch wichtig sein für dich.)
  ─   karate 11.05.2022 um 23:23

In einer Gruppe ist jedes Linksinverse auch rechtsinvers und das Linksneutrale ist rechtsneutral. Sei $g\in G$ ein bel. Element und sei $g^{-1}$ das linksinverse zu $g$. Wir wollen zeigen, dass $g^{-1}g = e = gg^{-1}$.

$$ e = (g^{-1})^{-1}g^{-1} = (g^{–1})^{-1}(eg^{-1}) = (g^{-1})^{-1}\Big((g^{-1}g)g^{-1}\Big) = \Big((g^{-1})^{-1}g^{-1}\Big)\Big(gg^{-1}\Big) = e(gg^{-1}) = gg^{-1}. $$

Mit $gg^{-1} = e = g^{-1}g$ kann man leicht zeigen, dass $eg = g = ge$, d.h. links- und rechtsneutral in $G$ dasselbe ist.

Deswegen werden in der Definition der Gruppe einfach nur linksinverse Gruppenelemente bzw. das linksneutrale Element definiert.
  ─   zest 11.05.2022 um 23:27

@Zest oh ja das habe ich übersehen, aber oben hat er eben mal geschrieben, dass $G$ nur eine allgemeine Menge ist also ich nehme an, dass er meint dass $G$ keine Gruppe ist, daher habe ich das so geschrieben aber ja ich muss zugestehen das habe ich nicht gesehen.   ─   karate 11.05.2022 um 23:28

Was meinst du? Es ging doch um die Definition einer Gruppe, oder?   ─   zest 11.05.2022 um 23:30

Ja genau und ich habe ihm aber das neutrale & inverse Element auf einer allgemeinen Menge mit einer Verknüpfung definiert, damit er da das rechts und links sieht. Doch dann habe ich übersehen, dass diese Begriffe identisch sind wenn wir eine Gruppe betrachten. Das ist mein Fehler (also die Definition die ich gegeben habe gilt ja trotzdem, aber einfach nicht nötig)
  ─   karate 11.05.2022 um 23:35

Ich verstehe, dass mit dem neutralen und inversen Element auch mit den Definitionen. Aber mir ist wirklich nicht klar, wie ich das aus der den Abbildungen in Form von den Tabellen rauslesen rauslesen soll... In der linkene Tabelle habe ich ja im Grunde genommen die Addition wobei "4 zu 0" wird. Kann ich dann einfach als neutrales Element die 0 und als inverses Element -m nehmen?   ─   mathe_99 11.05.2022 um 23:48

Nein. Das Inverse zu einem Element ist immer das Element, das bzgl. der gegebenen Verknüpfung das neutrale Element liefert. In deiner linken Tabelle ist beispielsweise $3$ das Inverse zu $1$ und umgekehrt. $0$ ist das neutrale Element, denn $0+m = m = m+0$ für alle $m \in M$.   ─   zest 11.05.2022 um 23:52

Und sonst ist noch 0 das Inverse zu 0 bzw. 2 das Inverse zu 2? weil 0+0=0=e und 2+2=0=e wobei e das neutrale Element ist.   ─   mathe_99 12.05.2022 um 00:07

Nein, $2$ ist das Inverse zu sich selbst. Die $0$ kann höchstens invers zu sich selbst sein (trivialerweise).   ─   zest 12.05.2022 um 00:09

Ich bin verwirrt. Habe ich nicht genau das geschrieben?   ─   mathe_99 12.05.2022 um 00:13

also das bzw soll eine Art Abtrennung sein   ─   mathe_99 12.05.2022 um 00:13

Achso, ja ich habe deinen Kommentar falsch gelesen. Jo dann meinen wir dasselbe.   ─   zest 12.05.2022 um 00:15

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Alles Klar! Dann habe ich es jetzt auf jeden Fall besser verstanden. Vielen Dank euch!:)   ─   mathe_99 12.05.2022 um 00:24

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