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Wir schreiben
\( z^4 = -81i = 81(-i) = 81(\cos(\frac{3 \pi}{2})+i \sin(\frac{3 \pi}{2})) = 81 e^{\frac{3 \pi i}{2}} \)
Somit ist \( z = \sqrt[4]{81} e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \pi i}{2}} = 3 e^{\frac{3 \pi i}{8}} \) eine Lösung.
Alle Lösungen erhält man dann durch Multiplikation dieser Lösung mit den vierten Einheitswurzeln \( -i, i, -1, 1 \).
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