Moin,

damit man die geometrische Reihe anwenden kann, muss man erst einige Umformungen machen:$$f(x)=\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)2^{2k+1}x^k=2\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)2^{2k}x^k=2\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(2^2)^{k}x^k=2\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(4)^{k}x^k=2\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(4x)^k$$Jetzt können wir integrieren (das wurde sicherlich in der Vorlesung gezeigt):$$F(x)=\int2\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(4x)^kdx=2\sum\limits_{k\ge 0}\int(k+1)(4x)^kdx=...$$
Dann am Ende die Bedingung $F(0)=0$ anwenden, um die Integrationskonstante zu bestimmen. 
Wenn du dann die geschlossene Darstellung von $F(x)$ hast, kannst du geometrische Reihe verwenden:$$F(x)=\sum\limits_{n\ge 1}2^{2n-1}x^n=\frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}2^{2n}x^n=\frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}(4x)^n=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-4x}-1)=...$$
Schließlich führt dich die Ableitung von $F(x)$ zu $f(x)$

LG