Genzwert & Schranke

Aufrufe: 1187     Aktiv: 06.03.2020 um 19:17

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Hallo zusammen, was genau ist der Unterschied zwischen einem Grenzwert und einer Schranke?

Danke im Voraus. 

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Student, Punkte: 56

 
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Der Grenzwert ist der Wert, an den sich eine Funktion/Folge an einer Stelle (z.B. -3 oder 0) annähert. 

Z.B. konvergiert die Folge \(x_n=\dfrac{1}{n}\) im Verlauf des Unendlichen gegen null, sprich \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n=0\). D.h \((x_n)\) ist konvergent mit dem Grenzwert null. 

Eine obere/untere Schranke schränkt deine Folgen-/Funktionswerte ein. Betrachten wir die obige Folge, so ist ihr maximaler Wert (Maximum) \(x_1=1\). Nach unten ist sie durch null beschränkt.
Also ist bspw. eins eine obere Schranke und null eine untere. Allerdings ist auch 9000 eine obere Schranke, genauso wie -4 eine untere Schranke ist. Solange kein Folgenglied größer ist als ein bestimmer Wert, wäre dieser eine obere Schranke. Analog dazu mit der unteren Schranke.
Die Folge/Funktion muss allerdings nicht konvergent sein, nur weil sie beschränkt ist (besitzt obere und untere Schranke), siehe z.B. \((-1)^n\).

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K

 

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Was ich nicht ganz verstehe ist, wieso man dann schreibt, ich dachte die Folge konvergiert gegen null, also dass null der Grenzwert ist, der nicht überschritten wird.

 

 

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Schüler, Punkte: 77

 

Was meinst du mit überschritten?

Mit immer größerer werdenden \(n\) wird der Abstand der einzelnen Folgengliedern zur 0 (GW) immer kleiner. Für \(n=100\) beträgt dieser \(\dfrac{1}{100}\), für \(n=1000\) nur noch \(\dfrac{1}{1000}\). Es gibt jedoch kein \(n\), dass eingesetzt null ergibt.
  ─   maccheroni_konstante 06.03.2020 um 19:12

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