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Kennst du die Regel von L'Hospital?
Durch anwenden dieser Regel bekommst du:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-3x-1}{\sin^2(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{3x}-3x-1)'}{(\sin^2(x))'}\)
Bilde also die Ableitung von Zähler und Nenner.
Du wirst sehen: Im Nenner steht \(2\sin(x)\cos(x)\).
Damit kannst du den Bruch auf ein Produkt von zwei Brüchen aufteilen, einem mit \(\cos(x)\) im Nenner und einen mit \(\sin(x)\) im Nenner.
Den Teil mit cos kannst du direkt auswerten. Auf den Teil mit sin musst du nocheinmal die Regel von L'Hospital anwenden. Dann kannst auch diesen Teil auswerten.
Zur Kontrolle: Es kommt
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-3x-1}{\sin^2(x)}=\dfrac{3}{2}\cdot 3=\dfrac{9}{2}\)
heraus. Veruch es ertmal selbst und wenn du Probleme hast schreib nochmal
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vetox
Student, Punkte: 2.44K
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Leider sagt mir die L'Hospital Regel nichts. Kannst du mich bitte erleuchten? : D
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anonym993d5
10.01.2021 um 10:48
Wenn du den Grenzwert einer gebrochenen Funktion suchst, also zum Beispiel \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{p(x)}{q(x)}\), dann kannst du von Zähler und Nenner die Ableitung bilden und der Grenzwert ist der selbe. Es gilt also \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{p'(x)}{q'(x)}\). Wichtig: Das geht nur, wenn Zähler und Nenner beide gegen null oder beide gegen unendlich gehen. Also immer nur dann, wenn du einen Ausdruck wie \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) auswerten sollst.
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vetox
10.01.2021 um 10:53
Und wie genau komm ich auf die 9/2 in der Lösung? Kannst du das evtl nochmal Schritt für Schritt machen?
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anonym993d5
10.01.2021 um 11:08
Naja der erste Schitt steht oben ja da. Mit L'Hospital gilt
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{3x}-3x-1)'}{(\sin^2(x))'}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}-3}{2\cos(x)\sin(x)}\)
Das ganze Teilen wir jetzt auf zwei Faktoren auf:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3}{2\cos(x)}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den vorderen Teil kannst du auswerten. es ist \(\cos(0)=1\). Du bekommst \(\dfrac{3}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den hinteren Teil kannst du lösen, indem du hier nochmal L'Hospital anwendest. versuch es mal selbst ─ vetox 10.01.2021 um 11:15
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{3x}-3x-1)'}{(\sin^2(x))'}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}-3}{2\cos(x)\sin(x)}\)
Das ganze Teilen wir jetzt auf zwei Faktoren auf:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3}{2\cos(x)}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den vorderen Teil kannst du auswerten. es ist \(\cos(0)=1\). Du bekommst \(\dfrac{3}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den hinteren Teil kannst du lösen, indem du hier nochmal L'Hospital anwendest. versuch es mal selbst ─ vetox 10.01.2021 um 11:15
@vetox du kannst den Limes nur als Produkt aufteilen, wenn die Grenzwerte existieren ... tun sie aber nicht alle .... stattdessen einfach nochmal L'Hospital anwenden oder?
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maqu
10.01.2021 um 11:22
Welcher Grenzwert existiert denn nicht?
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vetox
10.01.2021 um 11:32
Wenn du \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)\) anwenden möchtest, müssen zwei der drei Grenzwerte existieren (weil dann klar ist dass auch der Dritte existiert). Aber sowohl \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{3e^{3x}-3}{2\cos(x)\sin(x)}\) als auch \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} f(x) \dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\) existieren nicht.
.... wie gesagt stattdessen einfach nochmal L'Hospital anwenden, dann klappt es. ─ maqu 10.01.2021 um 11:35
.... wie gesagt stattdessen einfach nochmal L'Hospital anwenden, dann klappt es. ─ maqu 10.01.2021 um 11:35
Aber wenn \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}}{\cos(x)}\) gilt und der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}}{\cos(x)}=3\) existiert dann heißt das doch auch dass \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}=3\) gilt und damit gibts doch nen Grenzwert, oder nicht? (Nochmal L'Hospital anwenden geht natürlich auch)
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vetox
10.01.2021 um 11:39
Wolframalpha schlägst auch mit dem Faktorisieren vor (natürlich keine ausschlaggebendes Argument ich weiß ;))
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vetox
10.01.2021 um 11:44
dann folgt es lediglich aus L'Hospital, dass die beiden Funktionen \(\dfrac{3e^{3x}}{\cos(x)}\) und \(\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\) für \(x\) gegen Null den gleichen Grenzwert haben. Aber an sich ist \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)} ="\dfrac{0}{0}"\) ... vielleicht mag es auch gehen, wenn WolframAlpha es vorschlägt und ja an sich auch der gleiche Grenzwert herauskommt .... ich habe mir das mit dem Limes aufteilen immer nur so gemerkt, dass zwei der drei Grenzwerte \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x), \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x), \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)\) existieren müssen ^^ .... Außerdem ist ja häufig so, dass wenn man nach L'Hospital immer noch \(\dfrac{0}{0}\) bzw \(\dfrac{\infty}{\infty}\) als Grenzwert hat, man L'Hospital einfach so lange weiter anwendet, bis ein Grenzwert herauskommt der existiert ;)
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maqu
10.01.2021 um 11:49
Ja das stimmt schon das beide Grenzwerte existieren müsse, so genau kenn ich mich da weiter nicht aus. Ich hab einfach angenommen die Grezwerte existieren, kommt ja schließlich mit L'Hospital was raus. Von daher wohl sicherheitshalber einfach zwei mal L'Hospital auf den gesamten Ausdruck anwenden und dann passts schon
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vetox
10.01.2021 um 11:51
Ja wie gesagt vielleicht geht auch beides ... aber Wolfram Alpha würde ich auch nicht immer trauen ;D ... Hauptsache dem Fragesteller konnte seine Frage beantwortet werden ;)
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maqu
10.01.2021 um 11:57
Jo seh ich auch so
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vetox
10.01.2021 um 11:57
Das mit dem Aufteilen hat schon seine Richtigkeit. Erstmal stimmt es natürlich, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren müssen, damit man eine Aufteilung begründen kann. Hier folgt aber die Existenz a posteriori. Man kann die Gültigkeit der Gleichung also von rechts nach links überprüfen.
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42
10.01.2021 um 12:56
