Wurzelgleichungen lösen - Probe

Aufrufe: 67     Aktiv: 30.09.2021 um 12:37

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Liebes Forum,
ich habe in einem Schulbuch gesehen, dass man vor der Probe der Lösung schauen soll, ob die Lösunge überhaupt im Definitionsbereich liegt.

Kann man sich das aber nicht einfach schenken, da Lösungen, die nicht im Definitionsbereich liegen auf keinen Fall als Lösungen in Betracht kommen?

Beispiel:

sqrt(x^2-9)=sqrt(x).  definiert für:  IxI größer gleich 3

Wenn man jetzt qaudriert und löst erhält man: x1=-2,54 und x2=3,54

Da x1 nicht im Def. Bereich liegt kann es auch keine Lösung der Gleichung sein.

Zu dieser Erkenntis wäre ich doch aber auch dadurch gekommen, indem ich x1 und x2 einfach in die Gleochung eingesetzt hätte. Dann wäre für x1 ein Fehler herausgekommen, woraus gefolgt wäre: x1 ist keine Lösung der Gleichung. Wohingegen ich ohnehin die Probe machen muss (auch mit Werten die im Def. Bereich liegen).

Stimmt das so? Also ist die Überprüfung, ob x1 im Def-Bereich liegt eigentlich unnötige zusätzliche Arbeit?

Danke und beste Grüße
handgefer0
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Ich glaube da liegt ein Missverständnis vor:

Richtig verstanden:
Zu prüfen ist, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt (wenn nicht, kann es keine Lösung sein).

Wenn der Definitionsbereich schon bekannt ist, dann geht das schnell und man muss die Probe nicht mehr machen.

Wenn der Definitionsbereich nicht bekannt ist, dann macht man die Probe.
Dazu nimmt man die Lösungen und setzt sie nacheinander ein. Wenn dabei ein Fehler entsteht (unter der Wurzel steht eine negative Zahl), dann ist es keine Lösung, eben weil sie nicht im Definitionsbereich liegen kann.

Sinnvoll ist die Probe also vor allem dann, wenn der Definitionsbereich nicht(!) gegeben ist. Wenn der gegeben ist, guckt man nach, ob die Lösungen drin liegen.

EDIT: Da liegt bei mir offenbar auch ein Missverständnis vor - ich war zu schnell und habe meiner Idee voreilig geglaubt.
Ich schließe mich der Argumentation von handfeger0 an.

Also hier der zweite Versuch:
- wenn Lösungen nicht im Definitionsbereich liegen, muss man die Probe nicht machen.
- wenn Lösungen im Definitionsbereich liegen, dann muss man die Probe machen, weil durch das Quadrieren der Gleichung eine Lösung erzeugt wird, die im Definitionsbereich liegen kann.
ABER:
- es kann auch Lösungen geben, die nicht im Definitionsbereich liegen.

Beispiel: $f(x)=x^2-4$ mit Definitionsbereich $x>0$. Dann ist $x=-2$ eine Lösung der Gleichung - bei der Probe kommt heraus, dass die Gleichung gilt. Aber diese Lösung liegt nicht im Definitionsbereich, weil dieser negative Zahlen ausgeschlossen hat (warum das ausgeschlossen wurde, ist eine andere Frage).
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Das kann ja so nicht ganz stimmen.
Auch Lösungen, die im Definitionsbereich liegen, können keine Lösungen der Ausgangsgleichung sein! Beispiel: sort(x^2-9)=1-x...
x=5 liegt im Def Bereich ist aber keine Lösung der Ausgangsgleichung.
  ─   handfeger0 29.09.2021 um 19:38

Ist es nicht vielleicht vielmehr so: Ein Blick genügt, um zu entscheiden, ob eine Lösung im Def. Bereich liegt oder nicht. Die Probe ist durchaus zeitraubender.

Deshalb schließt man im Vorfeld solche Lösungen von der Probe aus, die ohnehin nicht im Def. Bereich liegen (da sie sicher falsch sind). Im Anschluss muss man dann nur noch solche Lösungen prüfen, die im Def. Bereich liegen?
  ─   handfeger0 29.09.2021 um 19:40

Ich glaube, Du hast Recht, aber das Beispiel hinkt...

Denn da links eine Wurzel steht, deren Ergebnis positiv sein muss, dürfen auf der rechten Seite auch nur Werte stehen, die ebenfalls nicht negativ sind. Damit wäre der Definitionsbereich der rechten Seite auf Werte $x\leq 1$ einzuschränken. Der Definitionsbereich der Wurzel ist aber $x\geq 3$. Damit kann es hier sowieso keine Lösung geben, weil die beiden Definitionsbereiche der beiden Seite keine Schnittmenge haben....
Aber vermutlich denke ich hier gerade zu clever.

  ─   joergwausw 29.09.2021 um 19:52

Spricht das aber gegen meine Vermutung?   ─   handfeger0 29.09.2021 um 19:55

Habe meine Antwort editiert...   ─   joergwausw 29.09.2021 um 20:00

Ich würde das gerne nochmal aufgreifen.
Das Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Nämlich genau dann nicht, wenn die zweite Funktion (diejenige, die nicht die Wurzelfunktion ist) unterhalb der x-Achse verläuft.
Auf diesen Intervallen KANN das quadrieren dazuführen, dass Schnittpunkte entstehen, die eigentlich keine sind (da das Quadrieren das Vorzeichen ausser Kraft setzt).

Wenn man jetzt schaut, welchen Definitionsbereich die gesamte Gleichung hat (und eben nicht nur, welchen Definitionsbereich die Wurzelfunktion hat), dann schließt man ja aber gerade diese Intervall aus.

Daraus folgt ja das, was du vorhin schon meintest: Liegt eine Lösung nicht im Def. Bereich der gesamten! Gleichung, dann ist sie auch definitiv keine Lösung. Liegt sie hingegen im Def. Bereich der gesamten! Gleichung, dann ist sie auch auf jeden Fall eine Lösung der Gleichung, da die Schnittstelle der quadrierten Funktionen dann auch bereits ein Schnittpunkt der ursprünglichen Gleichungen war.


Prüft man hingegen nur den Def. Bereich der Wurzelfunktion (bin mir nämlich gar nicht sicher, ob man auch über Def. Bereiche von Gleichungen sprechen kann!?), muss man Lösungen, die im Dif-Bereich der Wurzel liegen nicht überprüfen.

EDIT: Es ist durchaus sinnvoll auch für Gleichungen einen Definitionsbereich festzulegen. Allerdings bedeutet Definitionsbereich für mich nur, dass man diese Zahlen alle einsetzen darf, nicht unbedingt, dass die Gleichung dadurch keinen Widerspruch nach sich ziehen darf. Beispiel: x^2=-2 hat ja trotzdem den Definitionsbereich R (auch wenn es eben in diesem Definitionsbereich keine Lösung hat. Wenn man auch Lösungen aus C zulässt kann man die Gleichung eben lösen. Bedeutet aber nicht, dass x^2 nicht für R definiert ist - oder?
  ─   handfeger0 29.09.2021 um 20:39

Es macht durchaus Sinn, ERST zu schauen, ob Lösungen im Definitionsbereich liegen, denn zum Weiterrechnen werden diese ja gar nicht mehr benötigt. Das ist insbesondere bei Anwendungsaufgaben interessant, wo es sehr häufig nur ein kleines Intervall gibt, was man betrachtet. Wenn ich also eine Anwendung habe, für die nur positive Zahlen interessant sind, dann interessieren mich negative Zahlen gar nicht, unabhängig davon, ob ich sie als Lösung bekomme oder nicht.

Bei Umformungen, die keine Äquivalenzumformungen sind, wie das Quadrieren, ist es aber immer sinnvoll, eine Probe mit den Werten zu machen, die für die Aufgabe eine Rolle spielen könnten.
  ─   cauchy 29.09.2021 um 20:41

@Cauchy: Du verwechselst doch hier Grundbereich und Definitionsbereich oder? Dass nur bestimmte Zahlen für mich interessant sind, hat ja nichts mit den Zahlen zu tun, die ich einsetzen DARF (ohne dass Fehler entstehen)
EDIT: Machst du @joergwausw nicht oben in deinem Edit das gleiche? Du meinst ohnehin wahrscheinlich die Gleichung x^2-4=0 oder? Eine Funktion hat ja erstmal keine Lösung...

Aber diese Gleichung (bzw. die Funktion f(x)=x^2-4 ist doch erstmal für alle reellen Zahlen definiert! Dass wir uns jetzt z.b. nur für die positiven reellen Zahlen interessieren (wieso auch immer) hat doch nichts mit dem Definitionsbereich zu tun. Wir schränken eben den Grundbereich ein. G=R>0 und D=R, woraus folgt, dass der Grundbereich durch D nicht weiter eingeschränkt wird...
  ─   handfeger0 29.09.2021 um 20:50

ich habe leider jetzt keine Zeit mehr, darüber genauer nachzudenken.

Zum Edit: Ich vermute, dass das Schulbuch (von dem die Diskussion ausging) mit Definitionsbereich genau das Beispiel "Anwendungsaufgabe" gemeint hat - also dass man sich die Probe sparen kann, wenn es im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist.
(morgen mehr)
  ─   joergwausw 29.09.2021 um 20:53

Grundbereich, Definitionsbereich.... das ist doch letztendlich irgendwo dasselbe. Denn Funktionen in Anwendungen werden immer auf einen bestimmten Bereich definiert. Ich kann also sagen, dass ich meine Funktion $f(x)=x^2-4$ auf $[0;200]$ definiere, obwohl der Ausdruck für alle reellen Zahlen definiert ist. Die Funktion hat dennoch nur den oben genannten Definitionsbereich.   ─   cauchy 29.09.2021 um 21:27

Wenn Du schon Lösungen in $\mathbb{C}$ anführst, dann kommen wir dem Problem vermutlich näher: Wenn eine Gleichung auf $\mathbb{R}$ definiert sein soll, dann ist das vom Standpunkt der komplexen Zahlen ja bereits eine Einschränkung des Definitionsbereichs.
Deshalb: In der Gleichung $x^2=-2$ suchst Du eben gar keine komplexen Lösungen, weil sie nicht im Definitionsbereich $\mathbb{R}$ liegen. Dementsprechend machst Du auch nie eine Probe für Lösungen mit Imaginär-Teil (weil Du sie nicht findest, weil Du nicht suchst).

Also: Wenn der Definitionsbereich (warum auch immer) eingeschränkt wurde, muss man Lösungen außerhalb nicht prüfen (man muss sie nicht einmal suchen), weil sie uninteressant sind.
Und das ist aus meiner Sicht der Hintergrund des Satzes aus dem Schulbuch: Hast Du Lösungen außerhalb des Definitionsbereches gefunden, dann spar Dir die Probe.

Und das ganze gilt ja dann auch allgemein und nicht nur für Wurzelgleichungen.


Im Allgemeinen stimmt nicht, was Du sagst (neue Lösungen nach dem Quadrieren waren vorher schon nicht im Definitionsbereich)
Schau Dir mal diese Gleichung an:
$$
\sqrt{x+1}-1 = 0,1\cdot x-0,5
$$
Mit einem GTR findest Du zwei Lösungen im Definitionsbereich $-1\leq x$.

Nach dem Quadrieren sind es drei Lösungen im gleichen Definitionsbereich, also muss hier eine Probe her.

Allerdings würde man natürlich vor dem Quadrieren erst die 1 auf die andere Seite bringen.... dann passiert das nicht - und in dem Fall stimmt Deine Aussage vermutlich für den Spezialfall "Gleichungen mit Wurzel auf der einen und keiner Wurzel auf der anderen Seite"...

Anderes Beispiel, das nicht auf Wurzeln beschränkt ist dafür gilt die Aussage ja auch:
$x^2=\frac{\pi}{2}$. Hat 2 Lösungen und ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert.

Wenn Du hier auf beiden Seiten den Sinus anwendest, hast Du auf einmal unendlich viele Lösungen im Definitionsbereich. Also: Probe.
Wenn der Definitionsbereich vorher eingeschränkt war, z.B. $0\leq x\leq 2$, dann sparst Du Dir viel Arbeit.
  ─   joergwausw 30.09.2021 um 12:37

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