Wie ermittelt man die Extrempunkte bei einer Funktionsschar?

Aufrufe: 367     Aktiv: 06.11.2022 um 18:00
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Moin liebe Community,

eigentlich weiß ich natürlich, wie man Extrempunkte ermittelt, aber diese Aufgabe scheint sehr schwierig zu sein. Ich gebe mal hier die Aufgabenstellung durch: Für welche reellen Zahlen anstelle von a haben die Funktionen vom Typ fa: fa(x) = 1/3x^3-1/2ax^2+9x-1

D(fa) = R keine bzw. eine lokale Extremstelle oder zwei lokale Extremstellen?


Ich habe bereits versucht, die Aufgabe zu lösen. Ich werde zwei Bilder hochladen. Ich bezweifle, dass es aber richtig ist. Für die Extrempunkte muss man ja die erste Ableitung gleich 0 setzen. Das habe ich auch gemacht und da die Funktion x^2-ax+9 lautet, habe ich direkt an die PQ-Formel gedacht. Denn a ist ja im Prinzip einfach nur eine Zahl. Ich habe die PQ-Formel angewandt, aber ich weiß nicht, ob ich alles richtig gemacht. Ich musste sehr viel schreiben und alles sieht komisch aus. Ich bitte darum, sich die beiden Bilder anzugucken. Ich bedanke mich für Eure Aufmerksamkeit und wünsche Euch allen ein schönes Wochenende.

PS: Bild hochladen funktioniert leider nicht. Deswegen habe ich die Bilder auf Imgur hochgeladen. Hier der Link. 

 

 

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Von der Idee und der Richtung gar nicht schlecht. Du machst aber mehr als du erstmal tun muss. Zum einen geht es nur darum, zu entscheiden, wie viele Extremstellen es gibt. Das kann man bereits mit Hilfe der pq-Formel ermitteln. Stichwort Diskriminante. 

Dann geht es darum, zu prüfen, ob die hinreichende Bedingung auch erfüllt ist. Das macht man entweder über die zweite Ableitung, die muss ungleich 0 sein. Oder hier besser: Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung. Was ist denn die Ableitung für eine Funktion und wann gibt es dort in den Nullstellen Vorzeichenwechsel und wann nicht?
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Danke für deine Antwort. Ist D nicht das, was unter dem Bruch steht? Das wäre doch in meinem Fall eine 2. Das bedeutet, dass die Gleichung zwei Lösungen hat. Ich habe aber doch auf meinen Bildern nach dem Benutzen der pq-Formel jeweils ein x1 bekommen und x2 bekommen. Das wären doch meine beiden Nullstellen, oder? Nochmal zur letzten Frage von dir. Die erste Ableitung gibt die Steigung an. War die Steigung zuvor positiv und anschließend negativ, so muss es ein Hochpunkt gewesen sein. Möchtest du darauf hinaus mit dem Vorzeichenwechsel?   ─   algebrainmyheart 06.11.2022 um 01:40
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel. Und ja, das ist der VZW. Das kann man sich aber anhand der Form der Ableitung überlegen.   ─   cauchy 06.11.2022 um 09:39
Tut mir wirklich leid, dass ich es nicht ganz verstehe. Was meinst du mit der Form der Ableitung? Meine erste Ableitung lautet x^2-ax+9. In dieser Form kann man doch die pq-Formel anwenden. Der Parameter a wird ja im Prinzip wie eine ganz normale Zahl angesehen. Mein Lehrer hat jedenfalls gesagt, dass diese Aufgabe schwierig ist. Ich bin aber trotzdem gewillt diese Aufgabe zu lösen. Bisher war es für mich nicht schwierig. Jedoch wird es plötzlich so viel und ich weiß gar nicht mehr, ob ich überhaupt alles richtig mache.   ─   algebrainmyheart 06.11.2022 um 14:28
Deine Ableitung ist eine Funktion. Wie sieht der Funktionsgraph aus? Wann hat man Nullstellen mit VZW (Extrempunkte), wann nicht?   ─   cauchy 06.11.2022 um 16:43

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