Wahrscheinlichkeit im Kartenspiel

Aufrufe: 279     Aktiv: 04.06.2023 um 15:13

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Hallo allerseits

Gegeben sind vier unterschiedliche Karten, die in einer bestimmten Anordnung gelegt sind. Nun werden sie gemischt und ich werde gefragt, wie wahrscheinlich es sei, dass mindestens eine an ihrem vorherigen Platz ist. - Ich steh leider auf dem Schlauch. Ich habe zwar eine Vorstellung, wie es sein könnte, kann es jedoch nicht als Formel hinschreiben. Das Problem, das ich habe, ist: Wenn ich eine Karte niederlege und sie nicht am richtigen Platz ist, habe ich auch für eine weitere Karte die Möglichkeit vereitelt, an ihren richtigen Platz zu kommen. Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten für die Karten aus?

Vielen Dank!
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Moin,

Alle möglichen Verteilungen nach dem Mischen korrespondieren 1-zu-1 mit den "Mischvorgängen", den Permutationen. Wir können weiterhin die 4 Karten mit den Zahlen $1,2,3,4$ identifizieren. Jede mögliche Konstellation nach dem Mischen gehört also zu einem Element der symmetrischen Gruppe $S_4$, die $4!=24$ Elemente enthält. Mehr zu dieser Gruppe steht hier.
Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wie das verändern der Position mit der Permutation zusammenhängt. 
Probiere es von hier aus nochmal selbst, und melde dich, falls du nicht weiterkommst.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Begriffe wie "symmetrische Gruppe" müssen und sollten nicht verwendet werden, wenn unklar ist, ob das Fragy studiert oder nicht. In der Schule ist sowas jedenfalls nicht relevant.

Man kommt hier aber tatsächlich weiter, indem man einfach mal alle Möglichkeiten aufschreibt und abzählt. Jede Kombination ist ja gleich wahrscheinlich. Hier gibt es auch eine einfache Abkürzung: Bestimme die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis.
  ─   cauchy 03.06.2023 um 16:46

Klar, wenn man noch in der Schule ist, ist es aufwendiger. Wenn man allerdings schon mit Gruppen vertraut ist, geht es erheblich schneller, einfach die Anzahl der Permutationen abzulesen   ─   fix 03.06.2023 um 17:00

Ja, ich habe nicht die geringste Ahnung, was symmetrische Gruppen sind; noch nicht einmal Permutationen waren bisher Gegenstand des Unterrichts. Wir sind ganz am Anfang der Stochastik. @Cauchy: P(Gegenereignis) kann ich, meines Wissens nach, nur dann bestimmen, wenn ich die P(E) habe. Das Gegenereignis an sich ist ja einfach, dass keine der Karten auf derselben Position wie vorher landet. Ich habe aber nicht die leiseste Ahnung, wie wahrscheinlich das ist. Ich könnte natürlich alle Kombinationen aufschreiben. Es muss jedoch einen anderen Weg geben, denn sonst verliere ich zu viel Zeit in der Prüfung. Vielen Dank für eure Hilfe!   ─   userdd13fd 03.06.2023 um 17:06

Habe nochmal darüber nachgedacht. Mit dem Gegenereignis ist man nicht wirklich schneller, aber ja, es ist eben genau das Ding, die Möglichkeiten aufzuschreiben und wenn man weiß, dass es nur 24 gibt, dann geht das auch. Man muss da nur strukturiert vorgehen, damit man keine vergisst und die Möglichkeiten schnell hat (sowas kann man üben). Man braucht hier aber auch nicht alle Möglichkeiten, sondern nur die, die relevant sind. Welche Kombinationen gibt es denn, wo alle Karten richtig liegen? Welche, wo 3 richtig liegen, wo 2 richtig liegen und wo nur 1 richtig liegt. Dann nutzt man hier einfach die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Wenn man damit natürlich nichtmal anfängt, dauert die Aufgabe eben lange. Aber wie gesagt, wenn man fix ist, hat man das in maximal 5 Minuten.   ─   cauchy 04.06.2023 um 15:13

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