Das hört sich für mich nach dem Archimedischen Prinzip an (wenn du willst, kannst du dazu mal im Internet recherchieren;-)).

Du weißt, dass die Kugel vollständig in den zylinderförmigen Wasserbehälter eintaucht. Das heißt, sie verdrängt ja ein bestimmtes Volumen. Da das verdrängte Volumen nicht einfach so "verschwinden" kann, erkennst du es am ansteigenden Wasserspiegel (+3cm). 

Jetzt kannst du das Volumen der Kugel berechnen, denn das Volumen, was sie verdrängt, muss sie ja logischerweise besitzen: Das verdrängte Volumen ist ein Zylinder mit dem Radius r=6cm und der Höhe h=3cm. Mit der Formel V = pi * r^2 * h für das Volumen eines Zylinders kannst du nun das verdrängte Volumen berechnen. 

Das herausgefundene Volumen ist nun als Volumen der Kugel anzusehen. Du kennst die Formel für das Volumen einer Kugel: 

V = 4/3 * pi * r^3 

Wenn du nun das herausgefundene Volumen in diese Formel einsetzt, musst du nur noch nach r umstellen, sodass du den Radius kennst. Da ja in der Aufgabe nach dem Durchmesser gefragt ist, musst du letztendlich den Radius noch verdoppeln.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen ;-)