Hervorragend! Genau: Die Begründung für den letzten Schritt ist, dass „A und (B ohne A)“ leer ist.

Zwischenschritt: Distributiv-Gesetz auf Mengen-Operationen anwenden, damit Du das überhaupt dastehen hast.
Begründung für allerletzten Schritt ist auch wichtig: Dass die Vereinigung mit einer leeren Menge wieder die Menge gibt oder dass x nicht aus der leeren Menge sein kann also aus dem anderen Teil sein muss.

Das ist halt das: Für selbstverständliche Umstände muss man in der Mathematik die dahinter liegende Begründung anführen. "Kann man weglassen" oder so, wäre keine gute Begründung :-)
Eine Nachhilfeschülerin von mir ist z.B. übermütig und behauptet ganz selbstverständlich Sachen, die im n-dimensionalen Raum halt nicht unbedingt so sind, und wenn ich frage, nach welchem Satz das so sei, ist sie überrascht - das wird aber in den Hausaufgaben und Klausuren verlangt!
Merke: Im Körper mit 2 Zahlen kann man ganz legitim und offiziell rechnen, aber die angebliche mathematische Wahrheit, dass \(1+1 = 2\) stimmt nicht mehr - es ist \(0\) :-)))

LG

Hallo KaiGlantz,

Deine Argumentationen in den ersten 3 Schritte sind super-schön begründet und richtig!
Aber ich vermute, dass im letzten Schritt, wo Du keine Begründung angegeben hast, durch die fehlende Begründung und auch durch das natürlich fehlende "x element aus" bei Dir ein gedanklicher Fehler passiert ist. (Anmerkung: Ohne das "x element aus" ist die Aussage nicht "unsauber" oder so, sondern tatsächlich FALSCH!)
Aus meiner Sicht ist der letzte Schritt nämlich noch nicht bewiesen und damit der Beweis noch nicht erbracht. Wie ist Deine Begründung? Lautet sie "Ist ja eh klar!"? Das genügt im Mathematik-Studium nicht. Da hätte man auch bei der ursprünglichen, zu beweisenden Behauptung sagen können "Ist ja eh klar, wenn man die Mengen aufmalt!". Auch ein Argument in der Art "Ist ja bloß eine Vereinigung, kann ich ja einen Teil weglassen" hilft hier nicht, da das Ergebnis im Zweifel KLEINER wird, also x eventuell NICHT enthalten ist!! Das wäre Dir wahrscheinlich aufgefallen, wenn Du das "x element aus" dazugeschrieben hättest. Das Argument könnte man nur genau für die Implikation in der anderen Richtung anwenden, d.h. "x aus einer Menge => x aus Vereinigung der Menge mit anderen" bzw. "x aus der Vereinigung, FALLS x aus einer Teilmenge". Tja, Mathematik nenne ich die Wissenschaft der Pingeligkeit und Haarspalterei ...

Magst Du zum letzten Schritt Deine Begründung hier noch nachliefern? Dann würde ich sie gern prüfen. Vielleicht ist sie ja so genial, dass ich sie gerade nicht sehe :-) Aber aus meiner Sicht fehlt noch mindestens ein Zwischenschritt.

Mit Deiner Schreibweise ist der Beweis auch unkonventionell - was natürlich ok wäre :-)
Aber er macht die Formulierungen etwas umständlich und unübersichtlich. Üblich wäre, dass man den Beweis beginnt mit: "Sei x aus <Menge auf der linken Seite>. Zu zeigen: x ist dann auch aus <Menge auf der rechten Seite>". Dann kann man mit dem x flexibel hantieren. Meistens macht man dann noch Fallunterscheidungen, wo das x alles enthalten oder nicht enthalten sein kann. Das ist übersichtlicher, man macht weniger Fehler und man hat mehr Möglichkeiten, um zu argumentieren! Ich vermute, dass das im Buch so ähnlich gemacht wurde. 

Mein Tipp zum Studium:
Die Mathe-Vorlesungen sind extrem zeitaufwändig! Man muss alle Definitionen und Sätze richtig durchgekaut haben, damit man sie verstanden hat und nutzen kann. Es genügt überhaupt nicht, sie einmal nachvollzogen zu haben. Deshalb gibt es aufwändige Übungsblätter. Die kann man sinnvollerweise mit jemandem besprechen. Es ist wichtig, über den Stoff zu sprechen, damit er in den Kopf rein geht. Lass Dich nicht verführen, bei einer Arbeitsgruppe nur als Mitläufer teilzunehmen! Dann wirst Du die Vorlesung nicht schaffen. Wenn man immer total am Ball bleibt, dann ist es nicht einfach, aber ich denke, für Dich machbar (das hast Du aus meiner Sicht mit Deinem Beweis schon gezeigt :-) ). Wenn man etwas verpasst, dann wird's halt eng...

Liebe Grüße

Sieht gut aus. Nur bei den letzten beiden Implikationen fehlt noch das \(x\in\)