Quadraturformel

Erste Frage Aufrufe: 541     Aktiv: 13.12.2021 um 22:55
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Hi, ich habe folgende Aufgabe zu Quadraturformeln:



ich habe da keinen vernünftigen Ansatz, weiß nur, dass man das was mit Lagrange Polynomen (Lk) aufstellen und dann noch Gewichte (Wk) berechnen muss. Hier ein Ausschnitt von der Folie, die für diese Aufgabe sein soll:


EDIT vom 11.12.2021 um 15:02:

Lösungsansatz für a) i)
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1 Antwort
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Bei Deiner Aufgabe geht es aber nur um ein Interpolationspolynom, das
a) an einer Stelle
b) an zwei Stellen
interpoliert. Überleg Dir mal, ob Du dafür wirklich die Lagrange-Darstellung brauchst. Wichtiger ist mehr: Was bedeutet denn Interpolation, und welchen Grad eines IPs braucht man um wieviel Stellen zu interpolieren?
Wie lauten dann die IPe für a) und b)?
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Das mit Lagrange war etwas schlecht formuliert von mir. Das wird für die Gewichte benötigt.

1 Stützstelle -> IP hat Grad 1
2 Stützstellen -> IP hat Grad 2

für a) wäre IP = ax

für b) IP = ax^2 + bx

richtig?   ─   piehisstdrei 10.12.2021 um 23:11
Ok, dann hab ich IP anscheinend nicht verstanden. Ist es richtig, dass der Grad des IP immer genau einen wengier ist, als man Stützstellen hat? Ist das IP dann bei nur einer Stützstelle einfach 1?   ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 12:37
Ich habe mir die Def. nochmal genau angeschaut und oben einen Lösungsansatz für a) i) reingepackt. Hier in den Kommentaren lassen sich ledier keine Bilder posten.   ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 15:04
Sorry, das a war von der Definiton aus den Folien: p(x) = ∑ a k ⋅ x k . Aber richtig vermutet, ich war mir da nicht ganz sicher.
Vielen Dank an dieser Stelle schonmal für die Hilfe. Ich Habe heute leider noch einen Haufen Projektarbeit vor mir, werde mich aber morgen weiter mit der Aufgabe beschäftigen.
  ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 16:58
Ich habe heute Abend vergeblich versucht a) ii) zu lösen. Da soll wohl (b-a)/2 ⋅ (f(xo)+f(x1)) für Q1(f) rauskommen. Also für beide Gewichte (b-a)/2. Hab das natürlich wieder mit den Lagrange Polynomen versucht, weil das die einzige Methode ist, die uns gezeigt wurde. Da kommen aber nur hässlich lange Terme raus, die nichtmal WolframAlpha auf das richtige Ergebnis bringt. Da muss also noch irgenwas komplett flasch sein bei meinem Ansatz. Wie würde man denn a) ii) ohne Lagrange machen?   ─   piehisstdrei 12.12.2021 um 22:53
Ok ich löse das mit Monomdarstellung:
IP hat Grad 1, also:
p(x)= ax+b
p(1)= a+b = 2 und p(2)= 3a+b = 4
=> a = 1, b = 1
Also ist p(x) = x + 1   ─   piehisstdrei 12.12.2021 um 23:46
für p(x) erhalte ich: p(x) = (f1 - f0 + x0 ⋅x)⋅x + f0 -x0 ⋅x
Das scheint mir nicht richtig. Beim Integrieren kommt da was sehr langes raus. Werde ich mir "morgen" nochmal in Ruhe anschauen   ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 01:03
p(x)= ax + b
p(x0)= x0a + b = f(x0) und p(x1)= x1a + b = f(x1)
a = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)
b = f(x0) - x0a

Wenn ich das anfange p(x) zu integrieren und dann einsetzte, kommt ein ziehmliches Durcheinander raus, das ich nicht auf (b-a)/2 bringen kann. Das liegt aber wahrscheinlich auch an den Stützwerten.

Ich würde mich sonst an dieser Stelle für die Hilfe bedanken. Ich habe auf jeden Fall etwas dazugelernt.   ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 21:26
Das mit [a,b] = [−1,1] war schon dran. War aber bis jetzt nur in Teilaufgabe b) zum Berechnen des Exaktheitsgrades erwähnt worden. Die Formel auf [a,b] tansformienren wird dann wohl noch kommen.

Vielen Dank auch nochmal für die letzte Antwort. Ich hatte ganz vergessen, dass man die f(x) einfach hinten mit den jeweiligen Gewichten dran schreibt. Das Ergebnis stimmt auch und das ohne Lagrange. Das ist gut mal erfahren zu haben.   ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 22:45

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.