Quadraturformel

Erste Frage Aufrufe: 133     Aktiv: 13.12.2021 um 22:55

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Hi, ich habe folgende Aufgabe zu Quadraturformeln:



ich habe da keinen vernünftigen Ansatz, weiß nur, dass man das was mit Lagrange Polynomen (Lk) aufstellen und dann noch Gewichte (Wk) berechnen muss. Hier ein Ausschnitt von der Folie, die für diese Aufgabe sein soll:


EDIT vom 11.12.2021 um 15:02:

Lösungsansatz für a) i)
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1 Antwort
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Bei Deiner Aufgabe geht es aber nur um ein Interpolationspolynom, das
a) an einer Stelle
b) an zwei Stellen
interpoliert. Überleg Dir mal, ob Du dafür wirklich die Lagrange-Darstellung brauchst. Wichtiger ist mehr: Was bedeutet denn Interpolation, und welchen Grad eines IPs braucht man um wieviel Stellen zu interpolieren?
Wie lauten dann die IPe für a) und b)?
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Lehrer/Professor, Punkte: 21.09K

 

Das mit Lagrange war etwas schlecht formuliert von mir. Das wird für die Gewichte benötigt.

1 Stützstelle -> IP hat Grad 1
2 Stützstellen -> IP hat Grad 2

für a) wäre IP = ax

für b) IP = ax^2 + bx

richtig?
  ─   piehisstdrei 10.12.2021 um 23:11

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Nein, nicht richtig. Was richtig ist, steht auf der Folie im farblich unterlegten Abschnitt oben. EInfach einsetzen. Hast Du die Idee der IP überhaupt verstanden? Man kann diese einfachen Fälle auch zeichnerisch lösen (Schulaufgabe). Und selbst wenn die Polynome den von Dir genannten Grad hätten, würden sie nicht so aussehen.
Nächste Schritte also für Dich: Was ist ein Polynom? Und was ist die Idee der IP?
Dass Du die Idee der IP verstanden hast, merkst Du daran, dass Dir klar wird, dass Du die Folie/Lagrange/Gewichte alles gar nicht brauchst.
  ─   mikn 10.12.2021 um 23:29

Ok, dann hab ich IP anscheinend nicht verstanden. Ist es richtig, dass der Grad des IP immer genau einen wengier ist, als man Stützstellen hat? Ist das IP dann bei nur einer Stützstelle einfach 1?   ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 12:37

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Das mit dem Grad stimmt, da muss man aber nichr raten, das steht in dem blau unterlegten Teil drin, in der 3. und 4. Zeile. Das ist aber nur eine Wiederholung von früher, klarer steht es natürlich bei der Def. des IP, hast Du das nachgeschaut? (Würde Deine zweite Frage beantworten).   ─   mikn 11.12.2021 um 12:41

Ich habe mir die Def. nochmal genau angeschaut und oben einen Lösungsansatz für a) i) reingepackt. Hier in den Kommentaren lassen sich ledier keine Bilder posten.   ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 15:04

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Ja, sieht gut aus. Geht doch. Und ganz ohne Lagrangeformeln.
Aber: da wirkt noch was unsicher: was soll das $a_=..$ bzw. ....? Was Interpolation ist, ist noch nicht ganz verstanden, scheint mir.
Bestimme zuerst(!) zum geg. $x_0$ (bzw. $x_0, x_1$) das IP komplett(!). Erst danach kommt das Integral ins Spiel, also Integral des IPs gibt die QF.
Mach das bei (ii) nach diesem Tipp.
  ─   mikn 11.12.2021 um 15:11

Sorry, das a war von der Definiton aus den Folien: p(x) = ∑ a k ⋅ x k . Aber richtig vermutet, ich war mir da nicht ganz sicher.
Vielen Dank an dieser Stelle schonmal für die Hilfe. Ich Habe heute leider noch einen Haufen Projektarbeit vor mir, werde mich aber morgen weiter mit der Aufgabe beschäftigen.
  ─   piehisstdrei 11.12.2021 um 16:58

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ok, alles klar. Dann bis morgen.
  ─   mikn 11.12.2021 um 17:06

Ich habe heute Abend vergeblich versucht a) ii) zu lösen. Da soll wohl (b-a)/2 ⋅ (f(xo)+f(x1)) für Q1(f) rauskommen. Also für beide Gewichte (b-a)/2. Hab das natürlich wieder mit den Lagrange Polynomen versucht, weil das die einzige Methode ist, die uns gezeigt wurde. Da kommen aber nur hässlich lange Terme raus, die nichtmal WolframAlpha auf das richtige Ergebnis bringt. Da muss also noch irgenwas komplett flasch sein bei meinem Ansatz. Wie würde man denn a) ii) ohne Lagrange machen?   ─   piehisstdrei 12.12.2021 um 22:53

Du beharrst auf dem komplizierten Weg, weil Du immer noch nicht IP verstanden hast. Dann ist eben viel Zeit und Frusttoleranz nötig.. Dann gehen wir eben in die Schulmathematik:
Geg. zwei Punkte (1,2) und (3,4). Berechne das zugehörige IP OHNE(!!!!) Lagrange.
  ─   mikn 12.12.2021 um 23:01

Ok ich löse das mit Monomdarstellung:
IP hat Grad 1, also:
p(x)= ax+b
p(1)= a+b = 2 und p(2)= 3a+b = 4
=> a = 1, b = 1
Also ist p(x) = x + 1
  ─   piehisstdrei 12.12.2021 um 23:46

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Ok, nun mit den Punkten (x0,f0) und (x1,f1). Dazu dann die QF durch Integrieren.. Danach (nicht vorher!) für x0 und x1 die Angaben aus der Aufgabenstellung einsetzen und für f0 f(x0) und für f1 f(x1) schreiben. Fertig.
  ─   mikn 13.12.2021 um 00:15

für p(x) erhalte ich: p(x) = (f1 - f0 + x0 ⋅x)⋅x + f0 -x0 ⋅x
Das scheint mir nicht richtig. Beim Integrieren kommt da was sehr langes raus. Werde ich mir "morgen" nochmal in Ruhe anschauen
  ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 01:03

Wir sind bei Polynomen vom Grad 1. Das wird genauso gerechnet wie in dem Beispiel mit den konkreten Zahlen.   ─   mikn 13.12.2021 um 13:11

p(x)= ax + b
p(x0)= x0a + b = f(x0) und p(x1)= x1a + b = f(x1)
a = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)
b = f(x0) - x0a

Wenn ich das anfange p(x) zu integrieren und dann einsetzte, kommt ein ziehmliches Durcheinander raus, das ich nicht auf (b-a)/2 bringen kann. Das liegt aber wahrscheinlich auch an den Stützwerten.

Ich würde mich sonst an dieser Stelle für die Hilfe bedanken. Ich habe auf jeden Fall etwas dazugelernt.
  ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 21:26

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Dein IP stimmt. Wenn $IP(x)=m\,x+n$ (ax+b wäre hier keine gute Bezeichnung), erhält man $Qf=\frac{m}2(b^2-a^2)+n(b-a)$. Wenn man dann alles einsetzt und nach f0, f1 sortiert, kommt man genau auf $Qf=\frac12(b-a)(f_0+f_1)$.
Zur Kontrolle kannst Du
(f1-f0)(b+a)/2/sqrt3 +f0(b-a)-(a+(b-a)(1-sqrt3)/2)(f1-f0)/sqrt3
in wolframalpha eingeben.
Das ist natürlich etwas mühselig. Üblich ist es daher auch (sollte in der Vorlesung noch kommen), dass man die Qf auf $[a,b]=[-1,1]$ berechnet und dann am Ende die fertige Formel linear auf $[a,b]$ transformiert.
  ─   mikn 13.12.2021 um 21:56

Das mit [a,b] = [−1,1] war schon dran. War aber bis jetzt nur in Teilaufgabe b) zum Berechnen des Exaktheitsgrades erwähnt worden. Die Formel auf [a,b] tansformienren wird dann wohl noch kommen.

Vielen Dank auch nochmal für die letzte Antwort. Ich hatte ganz vergessen, dass man die f(x) einfach hinten mit den jeweiligen Gewichten dran schreibt. Das Ergebnis stimmt auch und das ohne Lagrange. Das ist gut mal erfahren zu haben.
  ─   piehisstdrei 13.12.2021 um 22:45

Gut, freut mich.   ─   mikn 13.12.2021 um 22:55

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