Stetigkeit von Funktionen

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Ich bin in jeglicher Hinsicht komplett überfragt und freue mich daher über jede (und schnelle :)) Hilfe.


Sei f : [0, 1] → [0, 1] durch

f(x) := 1/q wenn x = p/q ∈ Q ∩ [0, 1], mit p, q ∈ N ein vollständig gekürzter Bruch,
bzw. = 0 wenn x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1]

gegeben.

Zeigen Sie, dass f in x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1] stetig und in x ∈ Q ∩ [0, 1] unstetig ist.
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Student, Punkte: 35

 

Also, Definitionsmenge für den Gesamtbruch ist hier zum einen die Menge der rationalen Zahlen, also "die Menge der Brüche und Dezimalzahlen" im Intervall von 0 bis 1. Dabei sind der Zähler und auch der Nenner Element der Natürlichen Zahlen. z.B. 1/3. Bei 1/3 kommen sowohl die 1 als auch die 3 in N als Element vor, der Gesamtausdruck 1/3 also 0,33333 ist Element der rationalen Zahlen.

und zum anderen die Definitionsmenge R ohne Q im Intervall von 0 bis 1, R/Q heißt, dass zwar reelle Zahlen wie z.B. Wurzeln, Pi, e, enthalten sind, aber eben keine Brüche, oder Dezimalzahlen.

Ich würde vermutlich einfach eine beliebige Zahl aus der Definitionsmenge auswählen.
Stetigkeit ist gegeben, wenn der Funktionswert also f(x) = linksseitiger Grenzwert für x gegen den Funktionswert = rechtsseitiger Grenzwert für x gegen den Funktionswert und wenn die Funktion für x definiert ist.

bei der ersten Variante mit "1/q wenn x = p/q ∈ Q ∩ [0, 1], mit p, q ∈ N ein vollständig gekürzter Bruch" kannst du das m.E. nur mit q = 1 darstellen, weil q=0 nicht definiert ist.
bei der zweiten Variante bin ich ähnlich überfragt wie du, weil ich mir nicht vorstellen kann durch welche reelle Zahl man 1 teilen kann, damit der Funktionswert 0 wird.
Mit Sicherheit gibt es hier jemanden, der uns beiden das vollständig erklären kann :)

  ─   gast12 vor 4 Tagen, 2 Stunden
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