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Hallo,
der Differentialoperator ist keine DGL! Wie in dem Wort bereits steht ist eine DGL eine Gleichung. Die haben wir hier nicht gegeben, sonder eine Definition ( durch das := wird der Operator definiert)
Der Differentialoperator ist definiert über
\( D(f)(x) := f''(x) - f'(x)-2f(x) \)
Um nun die Linearität zu zeigen, musst du folgendes zeigen
\( D(f+\lambda g)(x) = D(f)(x) + \lambda D(g)(x) \), also
\( D(f+ \lambda g)(x) = \frac {d^2 (f+ \lambda g)(x)} {dx^2} - \frac {d (f+ \lambda g)(x)} {dx} - 2(f+ \lambda g)(x) \)
Nun musst du die Regeln der normalen Ableitung, also des "standardmäßigen" Differentialoperators \( \frac d {dx} \) nutzen um die Linearität zu zeigen.
Wenn wir nun zum Kern der Abbildung kommen, ist dein Grundgedanke der DGL richtig, da wir nun
\( f''(x) - f'(x)-2f(x) = 0 \)
setzen können und dies ist nun eine DGL. Der Lösungsraum dieser DGL ist dann der Kern deines Operators.
Grüße Christian
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Was passiert denn mit \( p(x)e^{2x} \) wenn du deinen Differentialoperator darauf anwendest?
Setze \( p(x) = ax^2+bx+c \), dann fällt es dir vermutlich am leichtesten
\( D(p(x)e^{2x}) = \frac {d^2 ( p(x)e^{2x})} {dx^2} - \frac {d (p(x)e^{2x})} {dx} -2 (p(x)e^{2x}) \ldots\)
Grüße Christian
─ christian_strack 29.03.2019 um 01:34Vielen Dank !
─ wizzlah 29.03.2019 um 07:24
Ok danke dir ich bin schonmal ein gutes Stück weitergekommen, doch wie zeige ich nun, dass D den Unterraum W = p(x)e^(2x) | p Polynom von Grad <= 2 in sich abbildet? Eine Lösungsmenge für die Abbildung habe ich ja bereits gefunden und ich sehe ja, dass e^(2x) ein Bestandteil davon ist, jedoch sehe ich nicht wie ich das einfach vor das Polynom ziehen kann und wie damit gezeigt ist, dass dieses Polynon die vorgegebene Bedingung erfüllt.
─ wizzlah 28.03.2019 um 21:04