Hallo,

der Differentialoperator ist keine DGL! Wie in dem Wort bereits steht ist eine DGL eine Gleichung. Die haben wir hier nicht gegeben, sonder eine Definition ( durch das := wird der Operator definiert)

Der Differentialoperator ist definiert über

$D(f)(x) := f''(x) - f'(x)-2f(x)$

Um nun die Linearität zu zeigen, musst du folgendes zeigen

$D(f+\lambda g)(x) = D(f)(x) + \lambda D(g)(x)$, also

$D(f+ \lambda g)(x) = \frac {d^2 (f+ \lambda g)(x)} {dx^2} - \frac {d (f+ \lambda g)(x)} {dx} - 2(f+ \lambda g)(x)$

Nun musst du die Regeln der normalen Ableitung, also des "standardmäßigen" Differentialoperators $\frac d {dx}$ nutzen um die Linearität zu zeigen.

Wenn wir nun zum Kern der Abbildung kommen, ist dein Grundgedanke der DGL richtig, da wir nun 

$f''(x) - f'(x)-2f(x) = 0$ 

setzen können und dies ist nun eine DGL. Der Lösungsraum dieser DGL ist dann der Kern deines Operators. 

Grüße Christian