Logarithmus in Gleichung mit Summenzeichen

Aufrufe: 104     Aktiv: 19.08.2022 um 19:22

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Hier gibts 3 Umformungen (blau, grün und orange), die ich überhaupt nicht verstehe. Kann jemand aushelfen?
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Student, Punkte: 40

 
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2 Antworten
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Moin,
zu blau:
wie rechts daneben steht, ist \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), also ist \(\ln{((n+1)!)}=\ln{((n+1)n!)}=\ln{(n+1)}+\ln{(n!)}\)
zu grün:
einfach ausmultipliziert: es gilt \((n+1)\cdot a=n\cdot a+a\)
zu orange:
zunächst wurde der letzte Summand der Summe von ganz oben (also der "n+1-Term") aus der Summe gezogen und dann die Summe hinsichtlich der Induktionsvorraussetzung ersetzt. Danach wird zu \(n\ln{(n+1)}-\ln{(n!)}\) umgeformt. Da oben schon gezeigt wurde, dass \(n\ln{(n+1)}-\ln{(n!)}\) gerade \((n+1)\ln{(n+1)}-\ln{((n+1)!)}\) ist, ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.
LG
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Student, Punkte: 2.42K

 

ja, ich hatte angefangen zu schreiben, bevor du deine Antwort gepostet hattest, das sollte nicht verbessernd sein o.ä.
  ─   fix 19.08.2022 um 19:22

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Grün: Ausmultiplizieren.
Blau: $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ und Logarithmusgesetz.
Orange: Da gibt es zwischen den beiden Zeilen keinen Zusammenhang. Dort steht lediglich der $(n+1)$-te Summand der Summe.
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Selbstständig, Punkte: 24.36K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.