Moin,
zu blau:
wie rechts daneben steht, ist \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), also ist \(\ln{((n+1)!)}=\ln{((n+1)n!)}=\ln{(n+1)}+\ln{(n!)}\)
zu grün:
einfach ausmultipliziert: es gilt \((n+1)\cdot a=n\cdot a+a\)
zu orange:
zunächst wurde der letzte Summand der Summe von ganz oben (also der "n+1-Term") aus der Summe gezogen und dann die Summe hinsichtlich der Induktionsvorraussetzung ersetzt. Danach wird zu \(n\ln{(n+1)}-\ln{(n!)}\) umgeformt. Da oben schon gezeigt wurde, dass \(n\ln{(n+1)}-\ln{(n!)}\) gerade \((n+1)\ln{(n+1)}-\ln{((n+1)!)}\) ist, ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.
LG

Grün: Ausmultiplizieren.
Blau: $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ und Logarithmusgesetz.
Orange: Da gibt es zwischen den beiden Zeilen keinen Zusammenhang. Dort steht lediglich der $(n+1)$-te Summand der Summe.