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Hallo allerseits, ich belege aktuell einen Kurs über orthogonale Polynome und Kettenbrüche.

Ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, allerdings komme ich seit Tagen keinen Schritt weiter. Es geht darum eine Formel über die Konvergente eines Jacobi-Bruchs zu beweisen, mithilfe der Gauß-Quadraturformel und der Christoffel-Darboux-Identität.

Die Formel lautet:

\(\frac{\lambda_1\cdot Q_{n-1}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \sum_{k=1}^{n}\frac{A_{nk}}{x-x_{nk}} = \int_{-\infty }^{\infty }\frac{d\psi_n\left ( t \right )}{x-t}\), wobei Q ein monisches Zählerpolynom vom Grad n-1 ist und P ein monisches Nennerpolynom vom Grad n, \(A_{nk}\) der Koeffizient in der Gauß-Quadratur, in Bezug auf die Nullstelle \(x_{nk}\) von \(P_n\) und \(\psi_n\) die Verteilungsfunktion mit Sprung \(A_{nk}\) im Punkt \(x_{nk}\).

Ich bin soweit, dass ich gezeigt habe, dass \(\frac{\lambda_1\cdot Q_{n-1}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_{nk}}{x-x_{nk}} \) wobei \(a_{nk} = -\frac{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}{P_{n+1}\left ( x_{nk} \right )\cdot P'_n\left ( x_{nk} \right )}\).

Ich muss also nur noch zeigen, dass \(a_{nk} = A_{nk}\) gilt. Hier verweist das Buch auf die Christoffel-Darboux-Identität \(\sum_{k=0}^{n}\frac{P_k\left ( x \right )\cdot P_k\left ( u \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{k+1}} = \frac{1}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}\cdot \frac{P_{n+1}\left ( x \right )\cdot P_n\left ( u \right )-P_n\left ( x \right )\cdot P_{n+1}\left ( u \right )}{x-u}\) oder die andere Form der Identität: \(\sum_{k=0}^{n}\frac{P_k^2\left ( x \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{k+1}} = \frac{P'_{n+1}\left ( x \right )\cdot P_n\left ( x \right )-P'_n\left ( x \right )\cdot P_{n+1}\left ( x \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}\)

Edit: Es handelt sich um das Buch "An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 2. Auflage, 1978" von Chihara.

Der letzte Schritt von der Summe hin zum Integral ist mir dann wieder klar, lediglich die Gleichung \(a_{nk} = A_{nk}\) mithilfe des Christoffel-Darboux-Identität zu zeigen gelingt mir nicht.

Ich hoffe es gibt hier den ein oder anderen der sich mit dem speziellen Thema auskennt! :)

MFG

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 

\(\lambda_n\) und \(c_n\) sind beliebige Folge komplexer Zahlen von n = 1 bis unendlich.
Speziell für den Nachweis der Formel ist \(\lambda_n > 0\) für n größer gleich 1 und und \(c_n \in \mathbb{R}\)
P hat folgende Darstellung: \(P_n\left ( x \right ) = \left ( x-c_n \right )\cdot P_{n-1}\left ( x \right )-\lambda_n\cdot P_{n-2}\left ( x \right )\) für \(n \in \mathbb{N}\) und \(P_{-1}\left ( x \right ) = 0, P_{0}\left ( x \right ) = 1\)
Q hat folgende Darstellung: \(Q_n\left ( x \right ) = \left ( x-c_{n+1} \right )\cdot Q_{n-1}\left ( x \right )-\lambda_{n+1}\cdot Q_{n-2}\left ( x \right )\) für \(n \in \mathbb{N}\) und \(Q_{-1}\left ( x \right ) = 0, Q_{0}\left ( x \right ) = 1\)
Ich hoffe jetzt ist alles erwähnt, vielen Dank schonmal für das Interesse an der Frage!
  ─   kallemann 29.12.2020 um 11:57
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Vorweg: Ich kenne mich nicht mit diesem Thema aus, finde nur, dass Deine Frage sich angenehm aus dem täglichen komplexe-Wurzeln-bestimmen/Kurvendiskussion heraushebt und daher interessant.

Ich habe etwas herumgebastelt, aber (derzeit) ohne Ergebnis.

Was mir aufgefallen ist:

1.  In \(\frac{\lambda_1\cdot Q_{n-1}(x)}{P_n(x)} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{A_{nk}}{x-x_{nk}} \) stellt die rechte Seite die PBZ (Partialbruchzerlegung) der linken Seite dar.

2. Das von Dir berechnete \(a_{nk}\) lässt sich mit der "anderen Form der CD-Identität" schreiben als

\(a_{nk}=\left(\sum\limits_{i=0}^n \frac{P_i^2(x_{nk})}{\lambda_1\cdots\lambda_{i+1}}\right)^{-1}\).

Vielleicht hilft das ja. Sorry, mehr kann ich aktuell nicht anbieten.

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Entschuldigung für die verspätete Antwort. Ich danken ihnen für ihre Hilfe und Mühe. Ich werde mich genauer mit der Antwort befassen, vorallem 2. ist denke ich sehr hilfreich, und mich dann nochmal melden.
Vielen Dank!
  ─   kallemann 30.12.2020 um 08:12

Eine Woche später melde ich mich und sage, dass mir der Beweis geglückt ist, auch dank Ihrer Antwort. Vielen Dank!   ─   kallemann 07.01.2021 um 09:25

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.