Hallo allerseits, ich belege aktuell einen Kurs über orthogonale Polynome und Kettenbrüche.

Ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, allerdings komme ich seit Tagen keinen Schritt weiter. Es geht darum eine Formel über die Konvergente eines Jacobi-Bruchs zu beweisen, mithilfe der Gauß-Quadraturformel und der Christoffel-Darboux-Identität.

Die Formel lautet:

\(\frac{\lambda_1\cdot Q_{n-1}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \sum_{k=1}^{n}\frac{A_{nk}}{x-x_{nk}} = \int_{-\infty }^{\infty }\frac{d\psi_n\left ( t \right )}{x-t}\), wobei Q ein monisches Zählerpolynom vom Grad n-1 ist und P ein monisches Nennerpolynom vom Grad n, \(A_{nk}\) der Koeffizient in der Gauß-Quadratur, in Bezug auf die Nullstelle \(x_{nk}\) von \(P_n\) und \(\psi_n\) die Verteilungsfunktion mit Sprung \(A_{nk}\) im Punkt \(x_{nk}\).

Ich bin soweit, dass ich gezeigt habe, dass \(\frac{\lambda_1\cdot Q_{n-1}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_{nk}}{x-x_{nk}} \) wobei \(a_{nk} = -\frac{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}{P_{n+1}\left ( x_{nk} \right )\cdot P'_n\left ( x_{nk} \right )}\).

Ich muss also nur noch zeigen, dass \(a_{nk} = A_{nk}\) gilt. Hier verweist das Buch auf die Christoffel-Darboux-Identität \(\sum_{k=0}^{n}\frac{P_k\left ( x \right )\cdot P_k\left ( u \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{k+1}} = \frac{1}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}\cdot \frac{P_{n+1}\left ( x \right )\cdot P_n\left ( u \right )-P_n\left ( x \right )\cdot P_{n+1}\left ( u \right )}{x-u}\) oder die andere Form der Identität: \(\sum_{k=0}^{n}\frac{P_k^2\left ( x \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{k+1}} = \frac{P'_{n+1}\left ( x \right )\cdot P_n\left ( x \right )-P'_n\left ( x \right )\cdot P_{n+1}\left ( x \right )}{\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot ...\cdot \lambda_{n+1}}\)

Edit: Es handelt sich um das Buch "An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 2. Auflage, 1978" von Chihara.

Der letzte Schritt von der Summe hin zum Integral ist mir dann wieder klar, lediglich die Gleichung \(a_{nk} = A_{nk}\) mithilfe des Christoffel-Darboux-Identität zu zeigen gelingt mir nicht.

Ich hoffe es gibt hier den ein oder anderen der sich mit dem speziellen Thema auskennt! :)

MFG