Potenzen mit Variablen (Minus wird Plus)

Aufrufe: 429     Aktiv: 28.08.2020 um 10:43
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Hi,

ich habe die folgende Aufgabe:

( [(x-y)^2]^k ) / ( (x^2-y^2)^k ) = ( (x-y)/(x+y) )^k

WIe kann es sein, dass in der Lösung im Nenner zwischen x und y auf einmal ein + steht? Ich wäre prinzipiell so vorgegangen:

( [(x-y)^2]^k ) / ( (x^2-y^2)^k )

= ( (x^2-y^2)^k ) / (x^2-y^2)^k  //// Also hätte im Zähler x und y mit der ^2 ergänzt und anschließend im nächsten Schritt diese weggestrichen, sodass:

= ( (x-y)^k/(x-y)^k ) /// Dann hätte man das k um den gesamten Bruch gesetzt und das Ergebnis wäre fast richtig, außer, dass ich im Nenner Minus habe. Wenn es um die Exponenten geht, warum ist dann der Zähler nicht ebenfalls + ?

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Das liegt daran, dass x^2-y ^2= (x-y) * (x + y) ! 

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Aber wenn ich doch den Zähler auch ^2 nehme, habe ich doch ebenfalls x^2-y^2 - wieso wird dieser dann nicht zu +, wenn es ja im Nenner funktioniert...   ─   premiumgrade 28.08.2020 um 09:47
Binomi lernen! (x-y)^2 wäre x^2-2xy + y^2! Aber das wollen wir hier gar nicht , weil sich der eine Klammerterm so schön rauskürzen lässt .   ─   markushasenb 28.08.2020 um 09:54
Folglich müsste es so aussehen nach dem 2ten Schritt:

(x^2-y^2)^k / ((x-y)*(x+y))^k /// Dann kann man im Nenner x-y wegkürzen und oben ^2 - richtig?
= (x-y)^k / x+y)^k /// Und jetzt kann man k um den gesamten Bruch setzen   ─   premiumgrade 28.08.2020 um 10:00
(x-y)^2 ist NICHT x^2-y ^2 !!!   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:04
Kürzen kannst du NIE aus Summen, nur aus Produkten!   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:05
Wie soll ich denn später auf das Ergebnis ( (x-y)/(x+y) )^k kommen, wenn ich im Nenner x-y nicht wegkürzen kann?
Dann steht ja folgendes aktuell da:

[(x-y)^2]^k / ((x-y)*(x+y))^k // Wie soll ich denn dann weitermachen? Weil ich kann ja nicht wegkürzen und inzwischen habe ich verstanden, was (x-y)^2 ist.

  ─   premiumgrade 28.08.2020 um 10:11
Ja dann nimm x-y aus dem Zähler und kürze es gegen das gleiche unten weg . Oben wird dann aus ^ 2k nur noch ^k   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:14
Aber wieso fällt das ^2 auch weg? Wenn es bspw. ^3 wäre, würde das auch komplett wegfallen oder wären es dann ^2? Oder ist das einfach so, dass das wegfällt wenn man x-y wegkürzt?

Edit: Frage selbst beantwortet, man kürzt ja quasi die ^2 zu ^1, oder? Folglich wäre es bei ^3 auch ^2 anschließend.   ─   premiumgrade 28.08.2020 um 10:19
Was heißt denn ^2? Und was ^3?
Es heißt 2 * die Basis , oder 3 *
Und bei Potenz hoch Potenz werden die Exponenten multipliziert bei Multiplikation mit gleicher Basis werden sie addiert . Stünde da also in deiner Aufgabe ^3 wäre es nach dem Kürzen ^2. Du hast in deiner Aufgabe nach dem Kürzen ^1. das schreibt man aber nicht . Was wäre es bei ^1 nach dem Kürzen ? Es wäre ^ 0. was ist ^ 0 ?   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:33
^0 ist 1
Wieso wird jedoch, wenn ich (-2*(a+2)^3) / (a+2) habe das zu = -8*(a+2)^2 /// Zu hoch ^2 wird es, weil ich Zähler und Nenner wegkürzen darf, aber wieso potenziert sich die -2 noch mit ^3?   ─   premiumgrade 28.08.2020 um 10:36
Genau ! Aufgabe jetzt klar ?   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:40
Ja, deutlich klarer, Danke!   ─   premiumgrade 28.08.2020 um 10:40
Sie sollte sonnenklar sein! ☀️
Sonst leg sie weg und mach sie morgen nochmal, und frag was noch unklar ist !   ─   markushasenb 28.08.2020 um 10:43

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