(Twitter)
1
Wir haben die Reihe \(P(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)
mit \( a_n = \begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n=1 \\ n & sonst \end{cases} \)
Den Konvergenzradius kann man dann ganz einfach mit der Formel von Cauchy-Hadamard ausrechnen. Es gilt
\( r = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}} = \frac{1}{1} = 1 \)
Alternativ kann man auch folgende Formel verwenden
\( r = \lim_{n \to \infty} \vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \vert = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \)
Für den Konvergenzbereich muss man dann noch die Divergenz für \(-1\) und \(1\) überprüfen und erhält dann, dass die Reihe genau für \(x \in (-1,1)\) konvergiert.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
42
Student, Punkte: 7.02K
Student, Punkte: 7.02K
Man könnte hier L`Hospital verwenden, aber wenn man \( \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+ \frac{1}{n}} \) oder \( \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \) schreibt, dann sieht man eigentlich schon, dass der Grenzwert \(1\) sein muss.
─
42
20.06.2020 um 15:23
Beachte auch, dass es sich hier erstmal nur um eine Folge und keine Funktion handelt. Wenn man also L´Hospital verwenden möchte, dann muss man begründen, warum man das hier darf.
─
42
20.06.2020 um 15:26
Danke im voraus. ─ legosan 20.06.2020 um 14:40