Der obige Zusammenhang lässt sich mit vollständiger Induktion sehr schnell beweisen. Schauen wir uns dazu z.B. den Fall k=2 an (ich bezeichne die Diagonalmatrix mal mit T):

\( A^2 = A \cdot A = C \cdot T \cdot C^{-1} \cdot C \cdot T \cdot C^{-1} \)

Dabei ist \( C^{-1} \cdot C = I_{n} \) mit \( I_{n} \) der Einheitsmatrix. Also erhalten wir vereinfacht:

\( C \cdot T \cdot I_{n} \cdot T \cdot C^{-1} = C \cdot T \cdot T \cdot C^{-1} = C \cdot T^{2} \cdot C^{-1} \)

Eine Diagonalmatrix zu potenzieren bedeutet, dass man die Diagonaleinträge potenziert. Wir haben die Aussage also für k=2 gezeigt. Das kannst du auch für ein beliebiges k machen. Du musst diesen Trick nur mehrmals hintereinander anwenden. 

Die beispielhafte Anwendung der Formel zur Berechnung von \( A^{11} \) erfolgt also, indem du einfach die Diagonaleinträge deiner Diagonalmatrix potenzierst.

\( (-1)^{11} = -1 \)

\( 1^{11} = 1 \)

\( (-2)^{11} = -2048 \)

Damit erhältst du (gemäß meiner Notation mit T für die Diagonalmatrix) die Matrix \(T^{11} \).

Nun bleibt nur noch die Multiplikation \( C \cdot T^{11} \cdot C^{-1} \) und du hast dein Ergebnis für \(A^{11}\).

Für die Berechnung von `A^11` brauchst du noch `C^(-1)`. Dann musst du nach der Formel rechnen:

`A^11 = C * D^11 * C^(-1) =  ((1,1,1),(0,1,0),(0,5,1)) * (((-1)^11,0,0),(0,1^11,0),(0,0,(-2)^11)) * C^(-1)`