Inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung

Aufrufe: 297     Aktiv: 13.02.2023 um 19:18
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Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgender Differential-Gleichung:

Zur a:
\(  x'(t)=x(t)-10 \) 
Hier habe ich es mit einer inhomogenen Differential-Gleichung erster Ordnung zu tun, die ich in einen homogenen und inhomogenen Teil aufteilen muss.
Der homogene Teil berechnet sich mittels: \(  x'(t)=ax+b\)
Also:  \(  \frac {dx} {dt}=x \) und nach umstellen:
\( \frac {dx}{x} =dt\) Mittels integration und e-Funktion erhält man dann:
\(x(t)=C*e^{at}\)
Hiermit wäre dann der homogene Teil gelöst, aber der inhomogene fehlt noch. 
Leider weiß ich ab dem Punkt nicht, wie ich weiter vorgehen muss, so dass es für mich Sinn macht.
Mein Professor hat uns zwar folgende Formel hingeklatscht, aber warum das so ist und was ich damit tun soll weiß ich nicht so wirklich: \( x(t)=-\frac {b}{a} +A*e^{a*t} \)
Wie sollte ich nun am besten weiter vorgehen?
Vielen Dank für die Hilfe!
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1 Antwort
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Die zugehörige hom. Dgl ist $x'=a\cdot x$ (ohne $+b$).
Wenn der Prof Euch eine Formel für $x(t)$ genannt hat, in der $a$ und $b$ drin vorkommen, wozu kann die wohl dienen? Ist sicher auch gesagt worden, aber kann man ja auch selbst drauf kommen. Und ob das stimmt, was er sagt (also diese Formel), kann man ja selbst überprüfen (Probe!). Wenn er nicht gesagt hat, woher die Formel kommt (nochmal: wozu die ist, hat er ziemlich sicher gesagt), dann liegt das vermutlich daran, dass das später noch in der Lehrveranstaltung erklärt wird. Für die Aufgabe ist das irrelevant.
Damit sollte b) klar und kurz darauf auch c).
Wenn es Probleme gibt, melde Dich gerne nochmal.
Ich sag's zum 3. Mal: \cdot für den Malpunkt, aber dann bin ich ruhig und gehe davon aus, dass Du das nicht verwenden willst (gibt auch Helfer, die das nicht wollen).
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Den Punkt habe ich ausprobiert, vielleicht zerschießt er bei mir die Formatierung, aber bei mir macht er den Punkt nicht über die Variable, sondern quasi dahinter oder davor: \( {\cdot}x \) Aber vllt stell ich mich auch nur doof an :)

Ich hab mich nochmal mit dem Thema beschäftigt und anscheinend ist es so, dass der Anteil der inhomogenen Lösung ein vielfaches des homogenen Anteils ist( auch wenn ich mir nur schwer darunter etwas vorstellen kann)
Man könnte also einfach \( \frac {b} {a} \) teilen und vor die Lösung des homogenen Teils addieren?   ─   andreass 12.02.2023 um 17:54
Was den homogenen Anteil betrifft ja, was mit dem inhomogenen passieren soll nicht.   ─   andreass 13.02.2023 um 19:10

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