Begrenztes und logistisches Wachstum (Erklärung?)

Aufrufe: 74     Aktiv: 18.03.2021 um 18:45

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Es fehlt mir ein wenig Verständnis für die beiden Wachstumsprozesse und deren Formeln (siehe unten). Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand erklären könnte, welche Bedeutung die einzelnen Terme im Sachzusammenhang haben (am besten mit einem Beispiel) und wie ich sie mithilfe von Angaben modellieren kann. Außerdem die Frage noch, warum die Formeln sich in manchen Büchern bzw. Internetseiten unterscheiden. 

Danke im Voraus!

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\(B(t) =S-(S-B(0))e^{-kt}\) Mit dieser Funktion für beschränktes Wachstum lassen sich Wachstums-/Zerfallsprozesse modellieren, wo gilt : 
Wachstum/Zerfall sind proportional zum Restbestand.
Beispiel für beschränkten Zerfall: Abnehmende Temperatur von heißem Tee: Man hat 80° heißen Tee und sitzt bei 20° im Zimmer. Wenn der Tee abkühlt ist klar, dass er nicht unter 20° abkühlen kann (Umgebungstemperatur = untere Schranke/Grenze). Die Abkühlungsrate hängt ab von der Differenz (Teetemperatur -Umgebungstemperatur)
Also gilt die DGL \(B(t)´=k(S-B(t)) \) mit der Wachstums/Zerfallrate k (z.B. 10% pro Viertelstunde). Lösung der DGL ist \(B(t)=S-(S-B(0))e^{-kt}.\)
Beispiel für beschränktes Wachstum: Sie erhalten im Krankenhaus Schmerzmittel. Anfangsdosis 10mg. Dann stündlich per Tropf 5mg. Der Körper baut 10% der in ihm vorhandenen Schmerzmittelmenge in einer Stunde ab. Was ist die obere Grenze von Schmerzmittel im Körper? Wann sind 80% des max.Wertes erreicht?

\(B(t)= {a*S \over a+(S-a)e^{-S*k*t}}\) ist die Formel für logistisches Wachstum. Wachstum/Zerfall sind proportional zum Produkt aus Bestand und Restbestand.
Das entspricht der DGL \(B(t)´=k*B(t)*(S-B(t))\) 
Beispiel: Seerosenteich: Ein Teich hat die Fläche von 520 m^2. Man stellt fest zur Zeit t=0 sind 20 m^2 mit Seerosen bedeckt.
Nach 6 Wochen sind es 63,6 m^2. 
Man kann modellieren mit \(B(t)= {20*520 \over 20 + (520-20)*e^{-k*520*t}}\) Aus \(B(6)=63,6\) kann man k bestimmen (=0.0004) und damit den Bestand zu jedem Zeitpunkt.
Damit kann man auch Virenansteckungen modellieren.
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