Wenn man noch nicht weiß, dass jede absolut konvergente Reihe konvergiert, dann kann man die Konvergenz folgendermaßen zeigen:

Betrachte für \( n > m \) die Abschätzung

\( \vert s_n - s_m \vert = \vert \sum_{k=m+1}^n s_k - s_{k-1} \vert \le \sum_{k=m+1}^n \vert s_k - s_{k-1} \vert \)

Zusammen mit der Voraussetzung \( \vert s_k - s_{k-1} \vert \le \frac{1}{2^k} \) und der Formel für die geometrische Summe kann man damit folgern, dass \( (s_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy-Folge ist.

Die Abschätzung des Grenzwerts erhält man mit der Tatsache \( a_k = s_k - s_{k-1} \) dann wie folgt

\( \vert s \vert \) \( \le \sum_{k=1}^\infty \vert a_k \vert \) \( < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1 \)

Wenn man schon weiß, dass jede absolut konvergente Reihe konvergiert, dann kann man auf die obige Ausführung zur Konvergenz verzichten und einfach aus dieser Ungleichung die absolute Konvergenz folgern.