Sind die Vektoren komplanar?

Aufrufe: 492     Aktiv: 08.12.2020 um 20:55
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Die Vektoren a, b und c sind voneinander linear unabhängig.

Sind die Vektoren
d = 2*a - 3*b + c 
e =  3*a − 5*b + 2*c
und f = 4*a − 5 *b + c
komplanar?


Als Tipp habe ich erhalten, dass es mit einem Gleichungssystem zu lösen sein könnte. 

Ich habe es mit 2 Ansätzen versucht:
1. d = r*e + s*f
2. 0 = r*d + s*e + t*f 

(aber ich komm bei beiden leider nicht weiter)

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Dein 2. Ansatz ist gut. Setze jetzt die Definitionen von d,e,f ein. Du erhältst eine Gleichung mit a,b,c. Verwende dann die lineare Unabhängigkeit von a,b,c, um ein LGS für r,s,t zu erhalten.

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Ich verstehe nicht wie ich die lineare Unabhängigkeit von a,b,c verwenden kann. Das heißt doch lediglich dass a, b und c keine Vielfachen voneinander sind und sich nicht als Linearkombination voneinander darstellen lassen.   ─   sarah.12 08.12.2020 um 18:47
Die allgemeinste Formulierung ist aber: Wenn \(\lambda a+\mu b+\nu c=0\) ist, dann muss \(\lambda=\mu=\nu=0\) gelten. Siehst Du jetzt den Zusammenhang? Hast Du denn die Gleichung für a,b,c und r,s,t schon hingeschrieben?   ─   slanack 08.12.2020 um 19:07
Ich habe in meinen Ansatz von 2 d,e,f eingesetzt und diese Gleichung kann ich nach r,s,t umstellen. Und ich bin mir nicht sicher welche Gleichung für a,b,c gemeint ist? Ich könnte versuchen die Gleichungen die ich für r,s,t hab ineinander einzusetzen doch dann erhalte sehr lange Formeln, die mir irgendwie nicht richtig erscheinen bzw mich nicht so wirklich weiter bringen.
   ─   sarah.12 08.12.2020 um 19:33
Nach dem Einsetzen der Definitionen von d,e,f in 2. hast Du doch eine Gleichung mit r,s,t,a,b,c. Oder sieht das bei Dir anders aus? Dann fasst Du jeweils die Terme für a,b,c zusammen. Die enstandene Gleichung hat dann die Form \(\lambda a+\mu b+\nu c=0\), oder nicht? Zeig mal Deine Rechnung.   ─   slanack 08.12.2020 um 19:56
Ich glaube ich habe es nun verstanden. Die Gleichung die ich mit dem eingesetzten d,e,f erhalte kann ich so umformen, dass ich a,b und c ausklammern kann und in den klammern dann nur noch r,s,t steht. da a,b,c unabhängig sind müssen also meine Klammerausdrücke jeweils 0 sein, sodass ich dann ein Gleichungssystem mit diesen erhalte. Wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste dann rauskommen dass s=2*t und r= -5*t und t=t also frei wählbar, demnach wären d,e,f komplanar da es für s,r,t Lösungen gibt die nicht 0 sind. Oder hab ich mich gerade völlig vertan?   ─   sarah.12 08.12.2020 um 20:24
Klingt gut!   ─   slanack 08.12.2020 um 20:31
Vielen Dank für die Hilfe!!   ─   sarah.12 08.12.2020 um 20:33

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Es gibt och eine andere Möglichkeit, nämlich mittels Spatprodukt. Sind die Vektoren kompanar, so ist das Spatprodukt nämlich null. Siehe Video!

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