Vektoren vereinfachen

Aufrufe: 34     Aktiv: 19.02.2021 um 17:54

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Ich habe leider keine Ahnung was genau hier passiert, wäre nett wenn mich hier jemand vielleiht zu nem Video verlinken könnte wo ein derartiges Problem besprochen wird, habe leider nichts in der Richtung gefunden
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Folgende Dinge musst du wissen, um diese Aufgabe lösen zu können:
  1. \(\vec x^2=|\vec x|^2\).
  2. \(|\vec a\cdot\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos(\angle(\vec a,\vec b))\).
  3. \(|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\sin(\angle(\vec a,\vec b))\).
  4. \(\vec a\times\vec b\) steht senkrecht auf \(\vec a\) und \(\vec b\).
  5. \(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\).
Jetzt können wir alle Rechnungen nachvollziehen. Für die erste Rechnung: Nach 1. gilt \((\vec a\cdot\vec b)(\vec a\cdot \vec b)=|\vec a\cdot\vec b|^2\overset{(2)}=|\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2(\angle(\vec a,\vec b))\). Für \(|\vec a\times\vec b|\) wurde die Formel (3) eingesetzt. Für die letzte große Klammer gilt \(\vec a\cdot(\vec a+\vec a\times\vec b)=\vec a^2+\vec a\cdot(\vec a\times\vec b)\). Für den zweiten Summanden wurde benutzt, dass \(\vec a\) nach (4) senkrecht auf \(\vec a\times\vec b\) steht und folglich das Skalarprodukt 0 ist nach (2). Also bleibt nur \(\vec a\cdot\vec a\) von diesem Ausdruck übrig. Damit sind wir bei der zweiten Zeile angelangt.
Von den ersten beiden Termen klammerst du jetzt \(|\vec a|^2|\vec b|^2\) aus und verwendest (5). Zum Vereinfachen von \(\vec a\cdot\vec a\) verwendest du wieder (1). Damit sind wir in der letzten Zeile, aufgrund der Kommutativität kommt insgesamt 0 raus.
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Klasse, danke!   ─   anonym 19.02.2021 um 17:54

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