y' ist die partielle Ableitung von F(x,y) nach y. Es wird also nach y abgeleitet, wobei x wie eine Konstante behandelt wird. Die partielle Ableitung nach y lautet:

    y'(x,y) = x^3 (-sin(y)) + (cos(x))^2 + 6x

Um die (Tangenten-) Steigung bei x=0 zu bestimmen, muss man erst mal den zugehörigen y-Wert bestimmen. Dazu setzt man x=0 in die implizite Funktion ein:

   F(0,y) = y - 1 = 0

Man sieht, dass y = 1 sein muss. Es geht also um die Steigung im Punkt (0|1). Die Formel zur impliziten Berechnung der Steigung in einem Punkt der Kurve erfolgt dadurch, dass man Folgendes berechnet:

   m = -x'(0,1)/y'(0,1)

Man setzt also die Koordinaten des Punktes, wo einen die Steigung interessiert in die partiellen Ableitungen nach x und y ein, teilt diese Werte durcheinander und dreht noch das Vorzeichen um. Die partielle Ableitung nach y wurde oben bereits angegeben. Die partielle Ableitung nach x lautet:

   x'(x,y) = 3x^2 cos(y) + 2y(-sin(x)) + 6y

Mit x'(0,1) = 6 und y'(0,1) = 1 erhält man somit

  m = -6/1 = -6

Gruß, Ruben