Notation Definition Integral

Aufrufe: 229     Aktiv: 18.06.2022 um 12:50

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Ist die "formale" Definition korrekt notiert? Bin mir nicht sicher, ob unter Delta x noch ein "n" als Bruch kommt, da man ja "n" gegen unendlich laufen lässt. Ich sehe zwar hinter min/max ein "n", verstehe jedoch nicht, was das dort zu suchen hat...

EDIT vom 11.06.2022 um 23:18:

@cauchy: Folgend meine Skizze zu deinem Kommentar: 
habe ich "i" richtig verstanden? 

EDIT vom 18.06.2022 um 07:26:


@cauchy: Der gelb markierte Teil wäre doch bei meiner Skizze nicht fortlaufend bzw. 5^2 würde übersprungen werden?
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"keine Störungen" ist sehr schlecht mathematisch ausgedrückt. Und schreibe besser Funktionsgraph statt Kurve. 

Unter $\Delta x$ kommt kein $n$, weil das ja schon die Rechtecksbreite ist. Das $n$ unter dem $\min$ bzw. $\max$ finde ich auch etwas komisch. Man meint hier natürlich das Minimum bzw. Maximum auf dem entsprechenden Teilintervall $[x_{k-1};x_k]$. Ich würde also eher sowas schreiben wie $\min\limits_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}$. Außerdem fehlt bei der Summe dann die Laufvariable, wenn man es genau nimmt.
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Danke für die Korrekturen! Ich habe noch 2 Unklarheiten. Ist die Schreibweise (a-b)/n identisch mit delta x?
Weil bei a-b haben wir ja die Differenz der beiden Intervalle und dann teilen wir durch n (welches gegen unendlich läuft) um minimal kleine Rechtecke zu erhalten. --> Warum ist Delta X bereits die Rechtecksbreite? Ich verstehe darunter die Differenz der Intervallsgrenzen, sprich a-b?

Deine Notation des Teilintervalls verstehe ich auch nicht komplett. k-1 ist mir klar, das ist die Untersumme, da man im Gegensatz zur Obersumme "immer 1 kleiner ist". Meine Interpretation der Schreibweise: Man beginnt bei Untersumme bei 0, da k-1 --> 1-1= 0 und geht bis "k"? Müsste "k" dann "n-1" sein? Im Vergleich zur Obersumme?
  ─   nas17 11.06.2022 um 18:58

Es ist in der Regel $\Delta x=x_{k}-x_{k-1}$. Das sollte so irgendwo in den Unterlagen stehen.

Du zerteilst dein Intervall $[a;b]$ in gleichgroße Abschnitte bei den Punkten $x_0=a< x_1< x_2< \dots< x_{n+1}=b$. Du hast also die Teilintervalle $[a; x_1], [x_1,x_2], \dots$, also immer $[x_{k-1};x_{k}]$.
  ─   cauchy 11.06.2022 um 19:09

Achso! Diese Notation ist mir neu, wir hatten nur (a-b)/n mit dem Limes angeschaut. Mein Lehrer wollte zuerst diese Schreibweise benutzen, hatte dann aber zu Delta X geändert. Demnach sind diese vom Prinzip her identisch?
Danke fürs Erklären der Delta X Regel! :)
  ─   nas17 11.06.2022 um 19:20

Und "zwischen a und b stetig" ist auch nicht gut, weil es nach "stetig auf (a,b)" klingt. Man braucht aber stetig auf [a,b].
Die ganze Definition und Schreibweise ist sehr ungeschickt und verwirrend. Steht die etwa so in einem Schulbuch?
  ─   mikn 11.06.2022 um 19:28

@mikn Wir haben das von der Tafel abgeschrieben. Diese Definition hat er meines Wissens "aus dem Kopf" aufgeschrieben, daher wahrscheinlich nicht ganz sauber   ─   nas17 11.06.2022 um 20:14

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"Nicht ganz sauber" ist sehr höflich. In dieser Definition steckt auch noch ein Satz, und die Schreibweise ist unvollständig/verwirrend.
Schau mal im Internet oder im Schulbuch, da steht es sicherlich sauber drin.
  ─   mikn 11.06.2022 um 20:39

Zum Glück habe ich zur Ergänzung des Unterrichts ein Mathe-Buch gekauft. :)
Im Lambacher-Schweizer steht die Obersumme/Untersumme detailliert als Definition.
Intervall ist so definiert: [a+(i-1) * Delta x; a + i * Delta x] . Komischerweise verstehe ich die Notation noch nicht komplett, obwohl ich mit Obersumme und Untersumme keine Mühe hatte. Delta x ist die Rechtecksbreite, a+(i-1) muss dementsprechend die Höhe sein?
  ─   nas17 11.06.2022 um 21:25

Dieses Intervall ist die untere Seite des Rechtecks (Intervall von links untere Ecke bis rechts untere). Zum Flächeninhalt wird die Breite (Delta x) multipliziert mit .... je nachdem, ob Unter- oder Obersumme.
Im L/S steht es sicher richtig drin. Das, was Du zitierst, ist nicht vollständig.
  ─   mikn 11.06.2022 um 21:29

Ich möchte nicht deine Geduld ausreizen, nur noch eine Frage. :D
"Intervall ist von links untere Ecke bis rechts untere". Dieses Intervall ist dann unendlich klein oder? Wenn ich jetzt die Fläche zwischen z.B. x=3 und x=8 berechnen möchte, würde es mir in diesem Intervall unendlich viele kleine Teilintervalle angeben (entsprechend mit Obersumme oder Untersumme)?

Wahrscheinlich liegt es daran, dass ich diese Notation des Intervalls noch nie an einer Skizze gesehen habe und darum Mühe habe, mir das vorzustellen. Das Prinzip mit Breite des Rechtecks mal Funktionswert ist ja immer das Gleiche...
  ─   nas17 11.06.2022 um 21:41

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Dein letzter Satz ist das wichtigste. Die Intervalle haben die Breite Delta_x, was $>0$ ist. Erst im Grenzübergang $n\to\infty$ wird die Breite 0 (unendlich klein), dafür braucht man dann unendlich viele Intervalle, um von x=3 zu x=8 zu kommen. Im L/S ist dazu bestimmt ein Graphik.   ─   mikn 11.06.2022 um 22:02

Vielen Dank! Nun ist einiges klarer geworden! :)
Reine Interessensfrage, hat das "d" bei dx einen Namen? Im L/S steht, dass "x" die Integrationsvariable heisst aber beim "d" steht nichts? Ein Mitschüler meinte, "d" stehe für "delta" und andere vermuten, dass es für "differential" steht? Wir sind uns da nicht sicher
  ─   nas17 11.06.2022 um 22:47

Wenn man sich Dinge nicht vorstellen kann, versucht man, sich das zu veranschaulichen. Dazu gibt es ganz oft auch Graphiken in Büchern, Videos, Internet, ...

Das $\Delta x$ ist keine Regel, sondern das wird halt so festgelegt oder definiert. Das kommt daher, dass Differenzen häufig mit $\Delta$ bezeichnet werden. Kennt man wohl eher aus der Physik. Die Schreibweise $a+(i-1)\Delta x$ besagt einfach nur, dass $(i-1)$ mal die Rechtecksbreite dazugerechnet wird, um den $i$-ten Punkt zu erhalten. Male dir einen Zahlenstrahl auf und zerlege diesen mal in gleichgroße Teile. Schreibe $a$ auf, schreibe $b$ auf, gibt $\Delta x$ an und berechne dann mal für alle $i$ von 0 bis $n+1$ die Werte $a+(i-1)\Delta x$ und vergleiche mit den entstandenen Teilintervallen. Hier muss $\Delta x$ auch nicht "unendlich klein" sein, sondern nimm Zahlen, mit denen sich das gut veranschaulichen lässt, zum Beispiel $\Delta x=1$.
  ─   cauchy 11.06.2022 um 22:51

Das stimmt beides. Laut wikipedia steht dx für das Differential auf der x-Achse. Naja, und das Differential ist ja quasi ein delta.
Ungefragt sei noch erwähnt, dass das Integralzeichen historisch aus einem langgezogenen S entstanden ist, S wie Summe, was Dir jetzt sicher sofort einleuchtet.
  ─   mikn 11.06.2022 um 22:53

Das $\mathrm{d}$ in dem $\mathrm{d}x$ hat keinen Namen. Das $\mathrm{d}x$ nennt man Differential und kommt letztendlich genau von diesem $\Delta x$. Im Integral steht also quasi das Produkt aus der Funktion mit dem $\mathrm{d}x$, der Rechtecksbreite, also genau das, was in deiner Ober- und Untersumme steht. Das Integralzeichnen erinnert an ein langgezogenes S für Summe. ;) Daher kommt diese Schreibweise.   ─   cauchy 11.06.2022 um 22:53

Danke an beide! Sehr spannend und lehrreich :)   ─   nas17 11.06.2022 um 23:15

Gute Skizze. Schreibweise für die einzelnen Intervalle nun klar? Und $i$ beginnt bei 1. ;)   ─   cauchy 12.06.2022 um 00:26

Stimmt, das würde alleine anhand der Skizze dann keinen Sinn ergeben, wenn ich 2 erhalte. :)
Beim Zeichnen ist mir eine Unsicherheit aufgefallen und zwar genau in der Mitte des Intervalls. Die Höhe des dritten Rechtecks setze ich "rechts" an (da Untersumme und Steigung dort negativ). In der Schule hatten wir x^2 als Beispiel,, dort musste ich bei der Höhe der Rechtecke von einer Untersumme immer "links" vom Rechteck beginnen, da die Steigung fortlaufend höher wurde.
Habe nun die erste Zeile gelöscht bei meiner Skizze, dann erhalte ich ja fortlaufend die Zahlen 3-7, meine Höhen sind bei f(3), f(4), f(6), f(7). --> Die Intervallschreibweise ist nun klar, gibt es jedoch keine Anzeichen, wie ich für jedes Rechteck die Höhe wähle? Wann links wann rechts? (abgesehen von einem Blick auf die Skizze)
  ─   nas17 12.06.2022 um 09:31

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Bei Untersumme ist es nie im allgemeinen Rechts oder links. Du machst so, dass das Rechteck so groß wie möglich wird, aber noch unter dem Graphen bleibt, das kann auch mal in der Mitte vom Intervall sein   ─   mathejean 12.06.2022 um 11:06

Alles klar, danke! :)   ─   nas17 12.06.2022 um 12:02

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Bei der Untersumme ist es das Minimum von $ f$ im Teilintervall, bei der Obersumme das Maximum. Siehe auch die Definition.   ─   cauchy 12.06.2022 um 14:28

@cauchy: Mir ist beim Lernen diese Skizze eingefallen. Ich habe gerade repetiert, dass man die den Flächeninhalt mit Untersumme/Obersumme händisch herleiten kann. (Wir haben die Anzahl Rechtecke als "n" bestimmt, die hintere Intervallsgrenze "b" und dann b/n gerechnet. Somit hatten wir die Rechtecksbreite. Anschliessend noch mal die Höhe. "n" haben wir dann gegen 0 laufen lassen und beim Beispiel f(x) = x^2 die "Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen" angewendet.)
--> Der Graph in meiner Skizze ist ja nicht monoton steigend. Demnach würde solch eine Herleitung bei diesem Graphen oder bzw. in diesem Intervall nicht funktionieren, oder? Weil ich jedes Mal die Höhe der Steigung entsprechend anpassen müsste. Bei x^2 ist die Steigung von 0 bis "b" monoton steigend und darum ist diese Herleitung durchführbar?
Sind meine Gedanken dazu korrekt? :)
  ─   nas17 17.06.2022 um 22:12

Nein, da geht einiges schief. Das Konzept mit der Ober- und Untersumme funktioniert auch bei nicht monotonen Funktionen. Das Integral wird ja gerade als Grenzwert dieser Summen definiert und lässt sich für vorne Funktionen auch berechnen. Du lässt nicht die Anzahl der Rechtecke gegen 0 laufen, sondern deren Breite. Darüber hinaus setzt du voraus, dass die untere Ganze gleich 0 ist, weshalb für die Breite dann nur noch $\frac{b}{n}$ übrig bleibt.   ─   cauchy 17.06.2022 um 22:21

Habe gerade gemerkt, dass ich "n" gegen 0 geschrieben habe. Wir haben "n" jedoch gegen unendlich laufen lassen. Mein Gedanke bleibt trotzdem falsch...
Kann mir das für nicht monoton steigende Graphen in einem Intervall irgendwie nicht vorstellen. Bei der Untersumme haben wir (n-1) eingefügt, da man bei x^2 ja immer die "linke Höhe" nimmt. Wenn ich nun einen Graphen habe (wie in meiner Skizze), welcher die Steigung wechselt, kann es doch vorkommen, dass die gleiche Höhe doppelt vorkommt (so wie bei meiner Skizze in der Mitte). In unserer Summenformel haben wir angenommen, dass die x-Werte der Höhen fortlaufend 1 grösser werden bis zu (n-1) (bei Untersumme) und bei der Obersumme bis zu n.

  ─   nas17 17.06.2022 um 22:35

EDIT: Habe meinen Fehlgedanken gefunden. Ich dachte, dass der X-Wert evtl. gleich ist, das ist natürlich Quatsch. Wenn dann wäre es der Y-Wert in der Mitte meiner Skizze, welcher zwei mal vorkommt. Dies spielt jedoch für die Summenformel keine Rolle.   ─   nas17 17.06.2022 um 22:40

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Genauso ist es. Zerlege einfach dein Intervall in Teilintervalle und bilde dann immer das Rechteck, was gerade noch unter bzw. über die Funktion geht für Ober- und Untersumme. Aber das ist ja nichts anderes als jeweils das Minimum bzw, Maximum auf dem entsprechenden Intervall zu nehmen.   ─   cauchy 18.06.2022 um 00:09

In meiner Skizze würde jedoch x=5 nicht vorkommen (da Untersumme). Mit der Summenformel hatten wir 0^2+ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (n-1)^2 ersetzt. Hier wird die Basis der Potenz immer um 1 erhöht. Wenn ich meine Skizze in der Mitte anschaue, würde ich x=5 und somit 5^2 in der Summe überspringen?
Habe den Teil mit der fortlaufenden Basis als EDIT hinzugefügt und gelb markiert.
  ─   nas17 18.06.2022 um 07:24

$x=5$ kommt schon vorher. Was nicht vorkommt ist die Auswertung an dieser Stelle, also $f(5)$ wird nicht benötigt. Bei dem Beispiel $x^2$ ist es klar, dass die Basis einfach immer erhöht wird, weil die Funktion monoton wachsend ist. Aber komm mal von dem Beispiel weg und betrachte die allgemeine Situation. Es kann auch passieren, dass weder die rechte noch die linke Intervallgrenze ausgewertet wird, weil z.B. innerhalb eines Teilintervalls ein lokales Minimum (oder Maximum bei der Obersumme) liegt. Man berechnet für die Teilintervalle immer den kleinsten bzw. größten Wert und für den Fall, dass es in diesen Teilintervallen kein lokales Extremum gibt, wird dieses immer am linken oder rechten Rand angenommen, was man in deiner Skizze gut sehen kann.   ─   cauchy 18.06.2022 um 10:08

Wei meinst du, dass x=5 vorher kommt? Ich würde ja Delta x (=1) * 5 rechnen und wäre dann bei x=5.
In meiner Skizze habe ich doch ein lokales Maximum und darum wird f(5) nicht benötigt, weil ich die Untersumme nehme? Verstehe nur nicht, wie die Herleitung analog funktioniert. Muss mir mal so eine Funktion ausdenken und dann analog wie bei x^2 händisch herleiten. Ist nur schwierig, da ich von einer beliebigen Funktion keine "Summenformel" kenne. Wir haben nur die Beispiele x^2 und x^3 angeschaut, wo wir Summenformeln hatten.
  ─   nas17 18.06.2022 um 10:36

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Bei diesen einfachen Funktionen ging es ja darum, das Konzept zu verstehen.

Ich meinte, dass $x=5$ vorkommt, nicht vorher... Vertippt.
  ─   cauchy 18.06.2022 um 11:33

Achso, verstehe.
Danke! :)
  ─   nas17 18.06.2022 um 12:50

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