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Hallo,

zuerst einmal, hier sind keine Gleichungen gesucht. Also maximal wird eine Gleichung der Form

$$ \text{Keines der Ereignisse tritt ein} = \ldots $$

gesucht. Für das \( \ldots \) musst du nun einen Ausdruck finden. Dafür nutzt du die Mengen \( A,B \) und \( C \) und die Mengenoperationen \( \cap, \cup \) und die Negation \( \overline{A} \) oder \( \neg A\) oder je nachdem wir ihr diese dargestellt habt. 

Die Aussage \( X \cup Y \) bedeutet, dass entweder \( X \) oder \( Y \) oder auch beide eintreten
Die Aussage \( X \cap Y \) bedeutet, dass beide Ereignisse \(X \) und \(Y \) eintreten.

Fangen wir mal mit der a) an. Ein Wort wie "keines" sollte einen direkt aufhorchen lassen. Was wird auf jeden Fall gebraucht? Welcher Ausdruck beschreibt, dass \( A \) nicht eintritt? Wie sieht es mit den anderen Mengen aus?
Wie kombinieren wir nun diese weiteren Aussagen?

Noch als kleine Randbemerkung. Hier sind \( \emptyset, A, B \) und \( C\) bereits Mengen. Wenn du um diese geschweifte Klammern packst, beschreibst du eine Menge, die diese Menge beinhaltet. \( \{\emptyset\} \) beschreibt also nicht die leere Menge, denn diese Menge hat ein Element, nämlich die leere Menge. Es ist also die Menge, die die leere Menge enthält. 

Grüße Christian

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Also muss es bei a) heißen A=∅ also ohne die geschweifte Klammer?
Und wie schreibt man eine Menge auf wenn mindestens eines der Elemente auftrifft? Dann können ja auch 2 oder alle 3 auftreten?
  ─   anonym 19.04.2021 um 14:21

Also darf man überhaupt keine geschweiften Klammern schreiben? Ich dachte immer diese Klammern stehen für Mengen.   ─   anonym 19.04.2021 um 14:23

Du bist im Kopf schon einen Schritt weiter, als die Aufgabe verlangt. ;)

Zuerst \( A = \emptyset \) heißt das \( A \) die leere Menge ist. Wenn \( A \) für ein Ereignis steht, bedeutet es, dass wir ein unerfüllbares Ereignis haben. Das wollen wir aber nicht aussagen. Wir wollen aussagen, dass weder \( A \) noch \( B \) noch \( C \) eintreten.

Wie gesagt, wir suchen keine Gleichung für \(A \) oder die anderen, sondern einen Ausdruck, der die Mengen enthält.
Wir machen das mal Schritt für Schritt.

Die Menge \( A \) beschreibt ein Ereignis. Man könnte sagen

$$ A = \text{das Ereignis A tritt ein} $$

oder

$$ A \cap B = \text{ A und B treten beide ein} $$

Betrachten wir mal

$$ \text{A tritt nicht ein} = \ldots $$

was kommt dort für die Punkte hin?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 14:27

Doch du darfst schon geschweifte Klammern schreiben, du musst nur aufpassen, was du aussagen möchtest.
Zwischen
$$ A = \emptyset $$
und
$$ A = \{ \emptyset \} $$
ist ein Unterschied. Wenn wir \( A = \emptyset \) schreiben, ist \( A \) die leere Menge. Also eine Menge die kein Element enthält. Wenn wir aber \( A = \{ \emptyset\} \) schreiben, ist \( A \) nicht die leere Menge. Denn \( A \) ist nicht leer. \( A \) beinhaltet die leere Menge. Hat also ein Element.
Wird dir der Unterschied klar?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 14:29

Also einfach so?
A tritt nicht ein= ¬A

Ja ich versteh immernoch nicht wie ich es bei Aufgabe b) mache wenn dort mindestens steht?
  ─   anonym 19.04.2021 um 16:24

Ja genau. Das wäre die Aussage, A tritt nicht ein.

Lass uns erstmal die a) fertig machen. Ich gehe gerne mit dir alle Teilaufgaben durch, aber ich denke es macht am meisten Sinn, wenn wir das Schritt für Schritt durchgehen anstatt zu vieles aufeinmal zu probieren.

Also wir wissen jetzt schon mal

$$ \begin{array}{ccc} \text{A tritt nicht ein} & = & \neg A \\ \text{B tritt nicht ein} & = & \neg B \\ \text{C tritt nicht ein} & = & \neg C \end{array} $$

Nun wollen wir die Aussage haben, dass keine der Ereignisse \( A,B \) und \( C \) eintreten.
Wie gesagt, bedeutet \( X \cap Y \), dass sowohl \( X \) als auch \( Y \) eintreten. Nicht das eins von denen auftritt, sondern das alle beide auftreten müssen.
Hast du nun eine Idee, wie du die Aussage aus a) formulieren kannst?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 16:48

Also wäre es dann bei a) ¬A ∩ ¬B ∩
¬C ?


  ─   anonym 19.04.2021 um 16:59

yes!
ok dann auf zur b)
Die Aussage \( X \cup Y \) bedeutet, dass \( X \) eintritt, \( Y \) eintritt oder beide eintreten.
Kannst du die b) schon lösen?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 17:20

Dann einfach bei b) A ∪ B ∪ C?   ─   anonym 19.04.2021 um 17:29

Ja genau. Mehr ist es nicht. Nun noch die c)
Die ist ein bisschen komplizierter. Überlege dir erstmal, wie würde die Aussage aussehen, das nur \( A \) eintreten soll?

Dazu eine Anmerkung: Ich habe ja am Anfang gesagt, dass
$$ A = \text{A tritt ein} $$
bedeutet. Wir wollen hier aber noch sagen, dass nur(!) \(A\) eintritt. Eine Idee wie wir das machen können?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 17:35

A\(B ∩C)?   ─   anonym 19.04.2021 um 17:40

Wäre dann die c) A\(B ∩C) ∪ B\(A ∩C) ∪ C\(A ∩B) ?

Noch Interessenhalbe: Wie wäre es bei:
-Mindestens zwei der Ereignisse treten ein.
-Höchstens zwei der Ereignisse treten ein.
  ─   anonym 19.04.2021 um 17:45

Du denkst schon mal in die richtige Richtung. Allerdings entfernst du mit deiner Aussage quasi einen Teil aus \(A\).
Wir wollen nur \( \cap , \cup \) und \( \neg \) nutzen und alle 3 Buchstaben müssen vorkommen.
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 17:48

Ouh dein zweiten habe ich nach dem schreiben gesehen. Der ist schon mal richtig gut. Es ist richtig, dass wir uns 3 Aussagen basteln und am Ende diese vereinen. Nur diese 3 Grundaussagen müssen wir noch etwas abwandeln.

Machen wir das zuerst fertig und gucken dann weiter :)
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 17:49

Dann (A ∩ ¬B ∩ ¬ C) ∪ (B ∩ ¬ A ∩ ¬ C) ∪ (C ∩ ¬ A ∩ ¬ B) ?   ─   anonym 19.04.2021 um 17:51

Stimmt das jetzt so?   ─   anonym 19.04.2021 um 18:24

Ja genau c) ist
$$ (A \cap \neg B \cap \neg C) \cup (\neg A \cap B \cap \neg C) \cup ( \neg A \cap \neg B \cap C) $$
Genau den Schritt von \( A \backslash (B \cap C) \) zu \( A \cap \neg B \cap \neg C \) meinte ich mit abwandeln.

Sehr gut damit haben wir das Blatt :)

  ─   christian_strack 19.04.2021 um 18:34

Hast du Ideen zu deinen Interessenfragen?   ─   christian_strack 19.04.2021 um 18:36

Sehr gut! Vielen Dank schon mal!
Naja bei mindestens zwei Ereignissen treten ein wäre das dann (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)?
  ─   anonym 19.04.2021 um 18:45

Ja genau. Man könnte sich hier \( (A \cap B \cap C ) \) sogar noch sparen, da ja beispielsweise \( A \cap B \) und \( A \cap C \) beide erfüllt sein könnten und somit alle 3 erfüllt werden. Aber es ist nicht falsch.

Und zu höchstens eine Idee?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 18:47

Bei höchstens bin ich mir nicht sicher...
A ∪ B ∪ C ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
  ─   anonym 19.04.2021 um 18:56

Hier könnte durch Vereinigung auch entstehen, dass alle 3 Ereignisse auftreten.
Der einfachste Weg der mir gerade einfallen würde, wäre sich zu überlegen wie das Gegenereignis aussieht.
Das geht hier sehr einfach, weil wir nur 3 Ereignisse haben. Bei mehreren Ereignissen müsste ich gerade auch echt überlegen.
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 19:02

Also schreibe ich dann da nur hin:
¬ ( A ∩ B ∩ C) oder wie?
  ─   anonym 19.04.2021 um 19:04

Ganz nah dran aber leider nein. Das würde bedeuten, dass kein Ereignis eintritt.
Es wäre
$$ \neg (A \cap B \cap C) $$
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 19:07

Vielen vielen Dank für die Hilfe!!!   ─   anonym 19.04.2021 um 19:09

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 19.04.2021 um 19:15

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