Es ist möglich, dass alle `n` Punkte einen Grad von mindestens 6 in der Triangulierung haben.

Aufrufe: 300     Aktiv: 27.04.2023 um 10:27
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Aufgabenstellung:
- Betrachten Sie eine Triangulierung von `n` Punkten in der Ebene.
- Beweisen oder widerlegen Sie: Es ist möglich, dass alle `n` Punkte einen Grad von mindestens `6` in der Triangulierung haben.

Ansatz:
Ein Gegenbeweis bringt hier nichts, aufgrund des Terms "es ist möglich" muss man ja einen allgemeinen Beweis finden.
Derzeit versuche ich mit folgenden Fakten einen Ansatz zu finden:
-    Jedes Dreieck hat `3` Kanten.
-    Jede Kante gehört zu `≤ 2` Dreiecken.
-    Eulerscher Polyedersatz: `Eckpunkte - Kanten + Flächen = 2`.
-    Eine Triangulierung mit `n` Knoten hat maximal `≤ 3n-6` Kanten.
-    Eine Triangulierung mit `n` Knoten hat maximal `≤ 2n-4` Dreiecke.

Vll. bin ich aber auch auf dem Holzweg.
Jegliche Hilfe wird sehr geschätzt, danke!

 

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Student, Punkte: 34

 
Da steht "Beweisen oder widerlegen Sie". Wenn man schon auf die sprachliche Formulierung der Aufgabe eingeht, dann sollte man das richtig machen.   ─   cauchy 26.04.2023 um 21:02
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1 Antwort
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Der Grad einer Ecke entspricht ja der Anzahl der Kanten, die an dieser Ecke hängen. Wenn du alle Grade zählst, dann zählst du also eigentlich die Kanten, und zwar jede Kante genau zweimal (weil jede Kante an genau zwei Ecken hängt). Du hast also
\( 2 \cdot Kanten = Grad \ von \ Ecke \ 1 \ + \ ... \ + \ Grad \ von \ Ecke \ n \).
Kommst du damit weiter?
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