Teilbarkeitsregel durch vollständige Induktion beweisen?

Erste Frage Aufrufe: 49     Aktiv: 23.04.2021 um 10:45

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Moin,


bin ein first-time user hier, habe zuerst ein Problem mit mathematische Induktion. Ich bin mir schon vertraut mit das Induktionsverfahren, ich weiß nur nicht wie ich in dieser Art frage überhaupt anfangen soll. Ich muss anscheinend beweisen, dass 3^n -1 für n ist teil von Menge aller Natürlichen Zahlen produziert ein Ergebnis der immer durch 2 teilbar ist, also gerade Zahlen. Manuel habe ich das schon bewiesen, in dem ich mehrere Werte für n reingesetzt habe und damit immer geraden Zahlen bekam. Durch Induktion habe ich immer noch leider auch nach langer bedenken, wenig Ahnung wie ich damit vorgehen soll. Bitte helfen Sie mir... (;
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Wenn man für den Induktionsschritt kein 3^n sieht, schreibt man's einfach mal hin. Wir brauchen es ja, um die Ind. Vor. einzubringen.
Also \(3^{n+1}-1 = 3^{n+1}-1+3^n-3^n\). Sortiere um, bringe die Ind. Vor. ein, und klammere das naheliegende aus (Potenzrechenregeln bereithalten). Reicht das als Tipp für ein eigenes Erfolgserlebnis?
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Hallo Mike,

Vielen Dank für die Zeit die Sie genommen haben! Leider habe ich es noch nicht verstanden, ich brauche ein bisschen mehr "Begleitung" sozusagen um diese Frage wirklich komplett zu verstehen. Falls es für die okay ist und Sie noch Zeit haben, könnten Sie bitte die folgende Frage beantworten?

Wenn ich jetzt gefragt werde 3^(n) - 1 durch Induktion zu beweisen, wie soll die Serie aussehen? Normalerweise hat man ja bei Induktion eine Zahlenreihe wie "1 + 4 + 7 + ... + 3n-2 = 0,5*n*(3n-1)." Probleme in diesen Format kann ich leicht beweisen, aber mit der Teilbarkeit zu prüfen fehlt mir der Ansatz, ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll, also wohin der Ausdruck "3^(n) - 1" gehört, ob und wie eine Zahlenreihe/serie entsteht, oder ob man etwas ganz anderes macht. Ich weiß nicht genau wie ich die gegebene Gleichung von Ihnen mit Induktion beweisen kann, und habe das Gefühl dass ich verstehe etwas dabei falsch.

Wenn Sie mir eine volle Lösung zeigen könnten mit den Ansatz, also wie und warum Sie das machen wäre ich unheimlich dankbar, damit würde es mir bestimmt gelingen dieser Art Probleme endlich zu verstehen.
  ─   chinmay 23.04.2021 um 00:14

Wir werden hier keine vollständigen Lösungen hinschreiben. Eure Hausaufgaben sollt ihr schon alleine machen.

Bei der vollständigen Induktion muss es nicht immer um sogenannte Summen (das, was du mit Zahlenreihen meinst) gehen, sondern es geht einfach nur darum, eine Aussage allgemein zu beweisen. In diesem Fall ist es die Aussage, dass \(3^n-1\) durch 2 teilbar ist. Den Induktionsanfang hast du ja anscheinend schon hinbekommen. Jetzt schauen wir uns einfach mal die Antwort genauer an. Im Induktionsschritt gehen wir jetzt von \(n\rightarrow n+1\) über, das heißt wir haben \(3^{n+1}-1=\ldots \) Diesen Term müssen wir nun so umformen, dass wir die Induktionsvoraussetzung (wie lautet sie?) anwenden können. mikn hat erklärt, wie man diesen Term umformen kann: man führt eine Nulladdition mit \(3^n\) durch und muss dann nur etwas umsortieren und ausklammern, um anschließend auf einen Ausdruck zu kommen, wo wir mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung sagen können, dass dieser durch zwei teilbar ist. Und dann bist du auch schon fertig.
  ─   cauchy 23.04.2021 um 03:05

Du hast geschrieben, dass Du mit dem Induktionsverfahren vertraut bist. Das ist aber anscheinend nicht der Fall. Die Aufgabe, um die es geht, ist eine schöne Aufgabe für einen Anfänger in der Induktion, um einen Erfolg zu haben.
Schau Dir am besten erstmal Videos zur Induktion an und/oder lies Beispiele dazu im Internet nach. Dort gibt es auch vollständige gelöste Beispiele. Hier nicht.
  ─   mikn 23.04.2021 um 10:45

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