Relative Fehler nach Maschinenoperation

Aufrufe: 104     Aktiv: 21.03.2022 um 13:46

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Guten Tag,

ich soll den relativen Fehler nach Ausführung der Maschinenoperation ausrechnen und in folgender Form angeben: 

$$ \alpha eps + O(eps^2)$$

Es geht um die Berechnung von $x_1(x_2x_3)^{-1}$ mit
 
Ich habe auch eine Lösung verstehe aber den letzten Schritt nicht: 

Es also $$|\frac{\overline {y} -y}{y}|=\frac{(x_1((x_2x_3)(1+\epsilon_1))^{-1})(1+\epsilon_2)-x_1x_2^{-1}x_3{-1}}{x_1x_2{-1}x_3{-1}}=\frac{1+\epsilon_2}{1+\epsilon_1}-1=\frac{\epsilon_1 - \epsilon_2}{1+\epsilon_1}$$

Bis hierhin ist mir alles klar jetzt verstehe es nicht mehr, laut Lösung gilt nun
$$\frac{\epsilon_1 - \epsilon_2}{1+\epsilon_1}=(e_1-e_2)(1-e_1+e{_1}^{2}-e_{1}^{3}+...)=2eps + O(eps^2)$$

Wenn ich es ausmultipliziere hebt sich ja auch nichts weg. Ich danke euch!:)

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Wo ist denn das Problem? Ausmultiplizieren, $\epsilon_1=O(eps), \epsilon_2=O(eps)$ und Rechenregeln für $O(.)$ benutzen.
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Ich verstehe das erste Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile irgendwie nicht, also wie man vom Bruch zu der Darstellung des Produktes kommt. Also der erste Faktor ist der Zähler, aber der zweite Faktor ist ja nicht das Reziproke des Nenners.   ─   walterfrosch 20.03.2022 um 20:15

Doch, ist es. Das ist die ganz normale geometrische Reihe. Nur dass man diesmal den Grenzwert durch die Reihe ersetzt (sonst läuft es meist umgekehrt).   ─   mikn 20.03.2022 um 21:46

oh, okay. Verrückt jetzt sehe ich es auch danke!   ─   walterfrosch 21.03.2022 um 13:46

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