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Am einfachsten über die Taylorentwicklung.
Man weiß für Polynome $f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$, dass $a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}$. Ist auch nicht so schwer, das mal eben herzuleiten.
Wenn $f$ nun ungerade ist, so ist $f'$ gerade, $f''$ ungerade usw. (leicht zu überlegen).
Damit ist aber $f^{(i)}(0)=0$ für alle geraden $i$, so dass $a_i=0$ für $i$ gerade folgt.
Man weiß für Polynome $f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$, dass $a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}$. Ist auch nicht so schwer, das mal eben herzuleiten.
Wenn $f$ nun ungerade ist, so ist $f'$ gerade, $f''$ ungerade usw. (leicht zu überlegen).
Damit ist aber $f^{(i)}(0)=0$ für alle geraden $i$, so dass $a_i=0$ für $i$ gerade folgt.
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mikn
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Es gilt ja: "Nur ungerade Exponenten" --> -f(x)=f(-x). (Diesen Beweis kann ich einfach führen und habe ihn verstanden).
Könnte man jetzt nicht für den Beweis: f(-x)=-f(x) -> "Nur ungerade Exponenten" folgenden Ansatz wählen:
Ich zeige, dass aus "NICHT alle Exponenten sind ungerade" -> "Nicht -f(x)=f(-x)" . Damit hätte ich ja dann auch gezeigt, dass f(-x)=-f(x) -> "Nur ungerade Exponenten" oder habe ich gerade einen Denkfehler? ─ handfeger0 11.11.2022 um 08:02