Beweis des Satzes über Exponenten und Symmetrie

Aufrufe: 137     Aktiv: 11.11.2022 um 15:34

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Liebes Forum,

allgemein gilt für die Symmetrie zum Koordinatenursprung ja:

f(-x)=-f(x)

Gemäß eines Satzes gilt das für ganzrationale Funkrionen genau dann, wenn die Funktion f NUR ungerade Exponenten hat.

Da es eine gdw-Aussage ist, muss man ja beide Richtungen zeigen.

Die eine Richtung ist klar.

Allerdings weiß ich nicht, wie man diese Richtung nachweist:

f(-x)=-f(x)   -> Alle Exponenten sind UNGERADE


Ich hoffe, ihr könnt helfen :)!

Danke!
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Das was mir einfallen würde, wäre:

Es gilt ja: "Nur ungerade Exponenten" --> -f(x)=f(-x). (Diesen Beweis kann ich einfach führen und habe ihn verstanden).

Könnte man jetzt nicht für den Beweis: f(-x)=-f(x) -> "Nur ungerade Exponenten" folgenden Ansatz wählen:

Ich zeige, dass aus "NICHT alle Exponenten sind ungerade" -> "Nicht -f(x)=f(-x)" . Damit hätte ich ja dann auch gezeigt, dass f(-x)=-f(x) -> "Nur ungerade Exponenten" oder habe ich gerade einen Denkfehler?
  ─   handfeger0 11.11.2022 um 08:02
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2 Antworten
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Am einfachsten über die Taylorentwicklung.
Man weiß für Polynome $f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$, dass $a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}$. Ist auch nicht so schwer, das mal eben herzuleiten.
Wenn $f$ nun ungerade ist, so ist $f'$ gerade, $f''$ ungerade usw. (leicht zu überlegen).
Damit ist aber $f^{(i)}(0)=0$ für alle geraden $i$, so dass $a_i=0$ für $i$ gerade folgt.
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