Verlauf Exponentialfunktionen

Aufrufe: 60     Aktiv: 28.06.2021 um 16:20

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WARUM verläuft der Graph einer Exponentialfunktion f(x)=a^x für x<0 unterhalb einer Exponentialfunktion g(x)=b^x, wenn gilt: a>b.

Ich muss das ganze begründen...kann mir jemand weiterhelfen?
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Das gilt nur für positive x und a,b jeweils größer eins. Formal:
\(\forall (a,b)\in[1,\infty)\times(a,\infty):a^x<b^x\ \forall x>0\)
Die einfache Erklärung:
f(x) beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess. a bzw. b beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit. Ein Prozess mit a=2 verdoppelt sich mit jedem x und ein Prozess mit b=3 verdreifacht sich mit jedem x. Das x kann z. B. als die Anzahl der Tage interpretiert werden und f(x) als die Population von Mäusen.

Viele Grüße
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Student, Punkte: 4.43K

 

aber dann gilt ja nicht a>b
  ─   qwertz000 26.06.2021 um 15:19

Ah ja mein Fehler, aber wie man in gerdwares Antwort sehen kann, ist das äquivalent zu der Aussage.

Man kann sich das dann als exponentiellen Zerfall in Richtung einer Konzentration/Population von 0 vorstellen, wo a schnelleren Zerfall als b hat und daher der Bestand \(b^x\) höher ist, als \(a^x\).

Aber auch in dem Fall ist das nicht allgemeingültig: Sei \(a=1, b=\frac12, x=-\frac 12\) Dann ist \(a>b\) aber \(a^x> b^x\). Es fehlt die Restriktion, dass \(x<-1\).
  ─   holly 28.06.2021 um 16:13

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\(a>b;x>0\rightarrow a^x>b^x\iff a<b;x>0\rightarrow a^x<b^x \iff a<b;x>0\rightarrow\frac{1}{b^x}<\frac{1}{a^x}\iff\)
\(a<b;x<0\rightarrow\frac{1}{b^{-x}}<\frac{1}{a^{-x}}\iff a<b;x<0\rightarrow b^x<a^x\)
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Wie oben vermerkt, gilt das nur für \(x>1\) bzw. \(x<-1\).   ─   holly 28.06.2021 um 16:20

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