Symmetrische Matrix Eigenwerte

Erste Frage Aufrufe: 479     Aktiv: 14.05.2021 um 10:18
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Folgendes Problem:

Ich habe eine symmetrische Matrix {5,-2,0,-1},{-2,5,-1,0},{0,-1,5,-2},{-1,0,-2,5} gegeben aus der ich an Hand der Zeilensummen alle Eigenwerte irgendwie ablesen soll. Die Zeilensummen sind offensichtlich alle gleich, aber was sagt mir das über die Eigenwerte und warum kann ich die überhaupt ablesen?
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Überleg dir mal, was passiert, wenn du die Matrix mit \((1,1,1, 1)^T\) multiplizierst.   ─   posix 14.05.2021 um 09:40
bzw. wie du das mithilfe der gleichen Zeilensummen erklären kannst.   ─   posix 14.05.2021 um 09:41
@matheistcool587 Siehe meine Antwort.   ─   posix 14.05.2021 um 09:50
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1 Antwort
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Wenn du das Skalarprodukt eines Vektors mit \((1,1,1,1)^T\) bildest, erhältst du genau die Summe der Einträge des einzelnen Vektors. Wenn du jetzt also eine Matrix \(A\) mit gleichen Zeilensummen mit \(v = (1,1,1,1)^T\) multiplizierst, ist das Ergebnis \(A v = \text{Zeilensumme} \cdot v\), was offensichtlich die Eigenwertgleichung mit Eigenwert \(\lambda = \text{Zeilensumme}\) erfüllt.
Die restlichen möglichen EV kannst du dir vermutlich mithilfe der Symmetrie überlegen.
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Ja, da werden die Eigenvektoren auch nur Einträge mit Betrag von 1 haben, wie man da am geschicktesten vorgeht bin ich mir grad selbst nicht so sicher.   ─   posix 14.05.2021 um 10:02

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