Abituraufgabe 2021, Tangente an Scharfunktion

Aufrufe: 598     Aktiv: 28.10.2021 um 10:37

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Hallo, folgende Aufgabe:
Funktionenschar fa(x) = x(x-a)(x-2a) = x^3 - 3ax^2 + 2a^2 x 
f''a(x) = 6x-6a 
Gegeben sind die Punkte P(1 , 0) und Qa (3 , fa(3)). Untersuchen Sie, ob es Werte von a gibt, sodass die Gerade durch die Punkte P und Qa eine Tangente an den Graphen von fa im Punkt Qa ist. 
Begründen Sie, dass der Punkt (0 , 2) auf keiner der Geraden durch die Punkte P und Qa liegt. 

Mein Ansatz: 
Gerade durch P und Qa aufstellen,habe dann in fa x=3 eingesetzt -> y= 27-27a+6a^2. Dann Steigung m mit 0-27+a(-27+6a)/1-3. So komme ich dann auf eine ellenlange Tangentengleichung (die ich hier jetzt nicht aufschreibe ;)). 

Frage: kann das so überhaupt stimmen? und wenn ja, ist es richtig dass ich dann fa' rausfinden muss für x=3 und die Steigung dann gleichsetzten muss mit der Tangentengleichung, um a auszurechnen? Ich bin den ganzen Weg mal gegangen und habe für a1= 2,058, a2=-6,558. Mir kam das nur alles etwas lang und "holprig" vor, deswegen glaube ich nicht, dass das stimmt 

Für die zweite Aufgabe hätte ich gedacht, dass das nicht geht, weil für x=0 auch immer y=0 rauskommen würde...

VG, und danke im Voraus!

EDIT vom 28.10.2021 um 09:36:

 
hier nun mein Weg.
Dennoch zwei Fragen, weil ich glaube, dass deine Art irgendwie schneller geht:
1) Wie würdest du die Tangentengleichung aufstellen? Du hast irgendwie die Punkte dort eingesetzt... 
2) Was genau bedeuten die Pfeile? -> Sehr cool für die Übersicht ;)
gefragt

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2 Antworten
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Hallo, mich hat's gepackt und ich habe die Aufgabe jetzt auch mal durchgerechnet.
Deinen Rechenweg kann ich soweit gut nachvollziehen und ich habe denselben Weg gewählt. Allerdings musst du nicht \(f'(x)\) mit der Tangentengleichung gleichsetzen, denn \(Q\) macht ja schon, dass die Gerade die Funktionsschar \(f_a\) dort schneidet/berührt. Hier müssen nur die Steigungen gleich sein, damit die Gerade eine Tangente ist.
Vermutlich ist dir dann dort ein Fehler unterlaufen.
Ich habe nur ein Ergebnis und das würde ich jetzt auch nicht unbedingt als "schön" bezeichnen. Allerdings kann ich sich nicht garantieren, dass ich richtig gerechnet habe, Fehler können immer und jedem passieren  ;).
LG Lunendlich :)
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Student, Punkte: 632

 

Hey, vielen Dank für die Erklärung und Mühe: «  Fehler können immer und jedem passieren ;) «  Von daher: Ich glaube du hast leider bei P die X und Y Werte vertauscht 😅 Ich habe es aber nochmal gerechnet, und jetzt kommt was richtiges raus!   ─   llit808 28.10.2021 um 09:26

IMG_2539.JPG   ─   llit808 28.10.2021 um 09:30

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