Wie beweise ich dass diese Menge konvex ist.

Aufrufe: 1036     Aktiv: 13.04.2021 um 20:22

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Hallo Zusammen

Ich müsste für folgende Menge \(D=\{f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}|f\in C^1, \,\,f(0)=f(\pi)=0\}\) zeigen, dass sie Konvex ist. Dabei wurde uns von den Übungsleitern als Tipp gegeben nicht die "normale" Definition der Konvexität zu nutzen, denn mit einer anderen ginge es schneller.
Leider gab es da ein Missverständnis, denn wir hatten nur diese "normale" Definition und daher versuchte ich es mal mit dieser wie folgt:

Sei \(f,g\in D\) und \(t\in [0,1]\). Daher gilt \(f,g \in C^1,\,\,(f(0)=f(\pi)=0=g(0)=g(\pi))=:*\). Ich definiere \(h(x)=t\cdot f(x)+(1-t)\cdot g(x)\) und bemerke dass \(h:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}\).
Aus * folgt, dass \(h(0)=0=h(\pi)\). Es bleibt noch zu zeigen, dass \(h\in C^1\).
Da \(f,g\in C^1\) sind können wir h ableiten und erhalten \(h'(x)=t\cdot f'(x)+(1-t)\cdot g'(x)\). Nun gilt, dass die Summe stetiger Funktionen wieder stetig ist, was bedeutet dass \(h'(x)\in C^1\).
Daher ist \(h(x)\in D\). 

Nun bin ich mir nicht ganz sicher ob das so wirklich funktionniert da wir es ja eben eigentlich mit einer anderen Definition einfacher gehabt hätten laut unseren Übungsleitern.

Könnte sich das also jemand anschauen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Das sollte eigentlich schon alles sein - gute Frage also worauf die Übungsleiter da hinaus wollten. 

Nur eine kleine Randbemerkung: Falls du das noch abgeben möchtest, solltest du noch schauen ob ihr in euer Definition von Konvexität Nicht-Leere fordert. Denn dann müsstest du ja noch sagen, dass in der Menge zumindest eine solche Funktion enthalten ist um einen 0.5 Punkte Abzug zu verhindern. :)

(Zum Beispiel wäre ja die Null-Funktion eine enthaltene Funktion)
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Vielen Dank, oh nun bemerke ich aber etwas, denn unsere Definition arbeitet mit \(U\subset \mathbb{R}^n\) also wir definieren die Konvexität darin. Nun ist ja aber D nicht eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^n\) also geht das trotzdem nicht so wie ich es versucht habe?   ─   karate 13.04.2021 um 18:41

Eigentlich ist Konvexität für alle rationalen/reellen/komplexen Vektorräume definiert (siehe Wikipedia). Dass sich die gegebene Menge in dem reellen Vektorraum \( \it{C}^1([0,\pi]) \) befindet sollte eigentlich klar sein, ließe sich natürlich aber auch sicher schnell zeigen. Danach funktioniert alles ja wieder so wie gehabt.   ─   b_schaub 13.04.2021 um 20:06

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Warte ich habe nochmals darüber nachgedacht, ist \(C^1\) nicht ein Raum von Funktionen dann hat dieser zwar reelle Funktionen ist er aber dann ein Reeller Vektorraum oder versteht man reell in diesem Fall nicht als \(\mathbb{R}\)   ─   karate 13.04.2021 um 20:08

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