Hallo Zusammen

Ich müsste für folgende Menge \(D=\{f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}|f\in C^1, \,\,f(0)=f(\pi)=0\}\) zeigen, dass sie Konvex ist. Dabei wurde uns von den Übungsleitern als Tipp gegeben nicht die "normale" Definition der Konvexität zu nutzen, denn mit einer anderen ginge es schneller.
Leider gab es da ein Missverständnis, denn wir hatten nur diese "normale" Definition und daher versuchte ich es mal mit dieser wie folgt:

Sei \(f,g\in D\) und \(t\in [0,1]\). Daher gilt \(f,g \in C^1,\,\,(f(0)=f(\pi)=0=g(0)=g(\pi))=:*\). Ich definiere \(h(x)=t\cdot f(x)+(1-t)\cdot g(x)\) und bemerke dass \(h:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}\).
Aus * folgt, dass \(h(0)=0=h(\pi)\). Es bleibt noch zu zeigen, dass \(h\in C^1\).
Da \(f,g\in C^1\) sind können wir h ableiten und erhalten \(h'(x)=t\cdot f'(x)+(1-t)\cdot g'(x)\). Nun gilt, dass die Summe stetiger Funktionen wieder stetig ist, was bedeutet dass \(h'(x)\in C^1\).
Daher ist \(h(x)\in D\). 

Nun bin ich mir nicht ganz sicher ob das so wirklich funktionniert da wir es ja eben eigentlich mit einer anderen Definition einfacher gehabt hätten laut unseren Übungsleitern.

Könnte sich das also jemand anschauen?
Vielen Dank für eure Hilfe!