Also zum Cauchy-Kriterium, überleg dir mal wieso dieses Kriterium in beweisen funktioniert wo du den Grenzwert noch nicht kennst. Ich meine wenn du eine Aufgabe mit der Definition von Konvergenz löst, musst du ja "wissen" was der Grenzwert ist, bei Cauchy ist das nicht der Fall. (Das heisst aber nicht dass es immer einfach ist mit Cauchy zu arbeiten, sollte nur mal ein Hinweis sein der vielleicht auch hilft zu verstehen wieso ihr in Beweisen aus der Vorlesung das Cauchykriterium benützt anstatt die "normale" definition).

Auch zum Quetschkriterium kann man eigentlich nicht wirklich viel sagen, ausser dass es sich vielleicht lohnt mal darauf zu schauen wenn du vielleicht irgendwelche $\sin, \cos$ in der folge hast, denn du weisst das $-1\leq \sin(x),\cos(x)\leq 1$ das KÖNNTE helfen.

Aber wie @mathejean schon gesagt hat, hier braucht es viel Training. Nur dann siehst du bei gewissen Aufgabenstellungen dass gewisse "Tricks" nützlicher sein können als andere, aber da musst du dein Auge schon ein wenig darauf einstellen.