Hilfe bei Abschätzung (Kombinatorik)

Aufrufe: 906     Aktiv: 24.03.2020 um 18:51
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Also die Aufgabe dreht sich um Kombinatorik und Abschätzungen:

Im italienischen Lotto zieht man 6 Zahlen aus 90. Das ergibt offensichtlich deutlich mehr Kombinationen als beim deutschen 6 aus 49. Wenn wir aber (imaginäres) Lottospiel mit einer Ziehung von 5 aus 90 betrachten, ist dann die Anzahl der Lottokombinationen ungefähr:
a)       Gleich groß
b)      Doppelt so groß
c)       Dreimal so groß
d)      Viermal so groß
wie bei deutschen Lotto 6 aus 49?

Lösung: Die Anzahl der Lottokombinationen im italienischen imaginären Lottospiel ist
\(\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}\)

Und in Deutschland
\(\binom{49}{6}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}\)

Also wollen wir folgende Größe abschätzen
\(\frac{\binom{90}{5}}{\binom{49}{6}}=\frac{6\cdot90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}\)

\(=\frac{6\cdot2\cdot89\cdot2\cdot87\cdot86}{49\cdot48\cdot47\cdot46}\)

\(=\frac{89\cdot87\cdot86}{49\cdot2\cdot47\cdot46}\)

\(\gt\frac{1}{2}\cdot(\frac{9}{5})^3=\frac{729}{250}=2,916\)(#Diese Zeile)

(#Die ganze Formel)Als obere Abschätzung erhalten wir
\(\frac{89\cdot87\cdot86}{2\cdot49\cdot47\cdot46}\leq\frac{85\cdot85\cdot85}{2\cdot45\cdot45\cdot45}=\frac{17^3}{2\cdot729}=\frac{17^3}{1458}\leq\frac{17\cdot289}{1445}=\frac{17}{5}=3,4\)

Also ist die Anzahl etwa dreimal so hoch.
Der Einsatz eines Taschenrechners liefert
\(\frac{\binom{90}{5}}{\binom{49}{6}}\approx 3,1428...\)

ALSO meine Probleme sind mit (#) markiert.
Ich verstehe da so manche Ideen nicht bzw. wie man auf z.B.85^3 / 2*45^3 kommt.

 

 

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Student, Punkte: 29

 
Leider sind deine Schwierigkeiten, welche mit # markiert sind nicht als Formel sichtbar   ─   janxlucas 22.03.2020 um 19:30
Mh, bei der ersten Zeile wäre meine Idee, dass du zb 89/49 dir anschaust und versuchst diesen nach unten abzuschätzen mit 9/5. Ein Anfang wäre zB: 89/49 > 89/50 = 89/(5*10) ….. wobei ich bei dem konkreten Versuch auch nicht weiterkomme weil 89<90=9*10 aber vielleicht hilft es dir weiter :)
Leider bin ich neu auf diesem Forum und hab deswegen die Formelschreibweise noch nicht drauf   ─   janxlucas 22.03.2020 um 19:56
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Wir sind also angekommen bei \(\frac{89\cdot87\cdot86}{2\cdot49\cdot47\cdot46}=\frac12\cdot \frac{89}{49}\cdot\frac{87}{47}\cdot\frac{86}{46}.\)

Es gilt für \(a>b\) und alle \(k>0\) die folgende Ungleichung: \(\frac ab>\frac{a+k}{b+k}\)

Das ist ziemlich intuitiv, aber wenn man es beweisen möchte, kann man mit den Nennern multiplizieren und erhält eine wahre Aussage. Demzufolge gilt \(\frac12\cdot \frac{89}{49}\cdot\frac{87}{47}\cdot\frac{86}{46}>\frac12\cdot\frac{90}{50}\cdot\frac{90}{50}\cdot\frac{90}{50}=\frac12\left(\frac95\right)^3\)

Für die obere Abschätzung wird auch diese Formel benutzt, nur andersherum. Damit ist jeder der drei Brüche kleiner als \(\frac{85}{45}\). Anschließend wird eine 5 in jedem dieser Brüche herausgekürzt und \(9^3=729\) gleich ausgerechnet. Im nächsten Schritt wird nur das Produkt im Nenner berechnet. Dann ersetzt man den Nenner durch eine kleinere Zahl, dadurch macht man den Bruch größer. Nun ist \(\frac{289}{1445}=\frac15\), und wir haben die obere Abschätzung auch fertig.

Ich hoffe, das hat deine Fragen geklärt, ansonsten melde dich gern nochmal.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Vielen lieben Dank für deine Erklärung. Stelle gerade fest, dass ich mich damit nicht genug befasst habe. Ich denke mir wahrscheinlich oft, dass das was man nach oben oder unten abschätzt einen tieferen Sinn hat bzw haben muss. Mir ist natürlich auch klar, dass \(\frac{1}{2}\cdot\frac{90^3}{50^3} kleiner ist als das was davor stand. Aber dann haätte man für eine zwar nicht ganz so gute Abschätzung auch 100 und 60 nehmen können?

Wahrscheinlich ist in der Lösung der Sprung von der (17*289)/1458 zu (17*289)/1445 nur gemacht worden, weil 1445 =5 * 289 ist und somit kürzbar?

Dann habe ich, wenn das richtig ist wohl alles verstanden. Nochmals vielen lieben Dank. Idefix   ─   idefix 24.03.2020 um 18:36
Ja genau, die 1458 wurde zur 1445 abgeschätzt, um kürzen zu können. Und man hätte statt \(\frac{90}{50}\) auch \(\frac{100}{60}\) nehmen können, ja, das hätte auch funktioniert.
Diese Lösungen sind oft nicht sehr intuitiv. Ich wäre auch nicht auf diesen Rechenweg gekommen. Aber es kann ja auch andere korrekte Wege geben. Mach dir also keinen Kopf, wenn du nicht auf diesen Lösungsweg gekommen bist. Bei solchen Aufgaben kann man sowieso kaum etwas anderes machen, als solange rumzurechnen, bis etwas sinnvolles rauskommt.   ─   sterecht 24.03.2020 um 18:51

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