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Ich arbeite an einer Aufgabe, welche um nilpotente Matrizen handelt. Jetzt stell ich mir die Frage, ob man allgemein sagen kann, dass der Rang(AB) kleiner ist als min(Rang(A),Rang(B)), falls A und B nicht den vollen Rang haben. Und falls dies nicht stimmt, woher die Eigenschaft von den nilpotente Matrizen kommt.

Danke im voraus!

LG base

EDIT vom 09.03.2022 um 20:54:

Ich arbeite an einer Aufgabe, welche um nilpotente Matrizen handelt. Jetzt stell ich mir die Frage, ob man allgemein sagen kann, dass der Rang(AA) kleiner ist als Rang(A), falls A nicht den vollen Rang hat. Und falls dies nicht stimmt, woher die Eigenschaft von den nilpotente Matrizen kommt.

Danke im voraus!

LG base
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In meiner Antwort wollte ich begründen, dass unabhängig vom Rang stets $\le$ gilt. Aber Du willst ja $<$, dazu braucht man sicherlich, dass A keinen vollen Rang hat. Ich verstehe aber nicht, was "woher die Eigenschaft von den nilpotente Matrizen kommt." - welche Eigenschaft?
Meine Antwort hab ich wieder gelöscht.
  ─   mikn 10.03.2022 um 00:10

Man findet leicht ein Gegenbeispiel, so dass "nur" $\leq$ gilt.   ─   cauchy 10.03.2022 um 00:20

Ein Gegenbeispiel mit einer nilpotenten Matrix?   ─   mikn 10.03.2022 um 00:37

Es liest sich für mich nicht so, dass $A$ nilpotent sein soll. Aber hier haben wir mal wieder den Salat bei ungenau gestellten Fragen...   ─   cauchy 10.03.2022 um 00:50

So ist es. Ich hatte für allgemeines A, B geantwortet, darauf hat der Frager obiges edit gepostet, woraus ich vermute, dass A nilpotent sein soll (und habe daher meine allg. Antwort gelöscht). "vermute", weil es ja so klar nicht gesagt wird.   ─   mikn 10.03.2022 um 01:02

Ja, ich vermute, dass er aber genau damit meint, dass sich genau diese Eigenschaft (die ja allgemein nicht gilt) auf nilpotente Matrizen überträgt. Oder aber er meint tatsächlich nur kleiner gleich und hats falsch geschrieben... Fragen über Fragen...   ─   cauchy 10.03.2022 um 01:04
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